Подготовительная теорема Вейерштрасса

Подготови́тельная теоре́ма Вейерштра́сса, теорема, полученная K. Вейерштрассом (Weierstrass. 1860, 1895) и сформулированная им первоначально в 1860 г. как подготовительная лемма при доказательстве существования и аналитичности неявной функции комплексного переменного, определяемой уравнением ${\displaystyle f(z,w)=0}$, левая часть которого есть голоморфная функция двух комплексных переменных. Эта теорема обобщает на функции многих комплексных переменных следующее важное свойство голоморфных функций одного комплексного переменного: если ${\displaystyle f(z)}$ – голоморфная функция от ${\displaystyle z}$ в окрестности начала координат и ${\displaystyle f(0)=0}$, ${\displaystyle f(z)\not \equiv 0}$, то она представима в виде ${\displaystyle f(z)=z^{s}g(z)}$, где ${\displaystyle s}$ – кратность нуля ${\displaystyle f(z)}$ в начале координат, ${\displaystyle s\geqslant 1}$, а голоморфная функция ${\displaystyle g(z)}$ отлична от нуля в некоторой окрестности начала.

Подготовительная теорема Вейерштрасса для функций ${\displaystyle n}$ комплексных переменных, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, формулируется следующим образом. Пусть

${\displaystyle f(z)=f\left(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}\right)}$

– голоморфная функция от ${\displaystyle z=\left(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}\right)}$ в поликруге

${\displaystyle U=\left\{z\colon \left|z_{i}\right|<a_{i},\quad i=1,2,\ldots ,n\right\}}$,

причём

${\displaystyle f(0)=0,\quad f\left(0,0,\ldots ,0,z_{n}\right)\neq 0}$.

Тогда в некотором поликруге

${\displaystyle V=\left\{z\colon \left|z_{i}\right|<b_{i}\leq a_{i},\quad i=1,2,\ldots ,n\right\}}$

функция ${\displaystyle f(z)}$ представима в виде

${\displaystyle f(z)=[z_{n}^{s}+f_{1}(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n-1})z_{n}^{s-1}+}$
${\displaystyle \ldots +f_{s}(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n-1})]g(z)}$,

где ${\displaystyle s}$ – кратность нуля функции

${\displaystyle f\left(z_{n}\right)=f\left(0,0,\ldots ,0,z_{n}\right)}$

в начале координат, ${\displaystyle s\geqslant 1}$; функции ${\displaystyle f_{j}\left(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n-1}\right)}$ голоморфны в поликруге

${\displaystyle V^{\prime }=\left\{\left(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n-1}\right)\colon \left|z_{i}\right|<b_{i},\quad i=1,2,\ldots ,n-1\right\},}$
${\displaystyle f_{j}(0,0,\ldots ,0)=0,\quad j=1,2,\ldots ,s;}$

функция ${\displaystyle g(z)}$ голоморфна и не обращается в нуль в поликруге ${\displaystyle V}$. Функции ${\displaystyle f_{j}\left(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n-1}\right)}$, ${\displaystyle j=1,2,\ldots ,s}$, и ${\displaystyle g(z)}$ определяются условиями теоремы однозначно.

Вместо начала координат можно принять, изменив соответственно формулировку, любую точку ${\displaystyle a=\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Из подготовительной теоремы Вейерштрасса вытекает, что при ${\displaystyle n>1}$, в отличие от случая одного комплексного переменного, во всякой окрестности любого нуля голоморфной функции находится бесконечное множество других её нулей.

Подготовительная теорема Вейерштрасса имеет чисто алгебраическую природу и может быть сформулирована для формальных степенных рядов. Пусть ${\displaystyle \mathbb {C} \left[\left[z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}\right]\right]}$ – кольцо формальных степенных рядов от переменных ${\displaystyle z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}}$ с коэффициентами из поля комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$; ${\displaystyle f}$ – такой ряд из этого кольца, члены которого имеют низшую степень ${\displaystyle s\geqslant 1}$, причём существует член вида ${\displaystyle cz_{n}^{s}}$, ${\displaystyle c\neq 0}$. Тогда ${\displaystyle f}$ можно представить в виде

${\displaystyle f=\left(z_{n}^{s}+f_{1}z_{n}^{s-1}+\ldots +f_{s}\right)g}$,

где ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{s}}$ – ряды из кольца ${\displaystyle \mathbb {C} \left[\left[z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n-1}\right]\right]}$, свободные члены которых равны нулю, а ${\displaystyle g}$ – ряд из ${\displaystyle C\left[\left[z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}\right]\right]}$ со свободным членом, отличным от нуля. Формальные степенные ряды ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{s}}$ и ${\displaystyle g}$ определяются по ${\displaystyle f}$ однозначно.

Иногда подготовительной теоремой Вейерштрасса называется следующее утверждение о делении: пусть ряд

${\displaystyle f\in \mathbb {C} \left[\left[z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}\right]\right]}$

удовлетворяет только что указанным условиям, ${\displaystyle g}$ – любой ряд из ${\displaystyle \mathbb {C} \left[\left[z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}\right]\right]}$. Тогда существуют такой ряд

${\displaystyle h\in \mathbb {C} \left[\left[z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}\right]\right]}$

и такие ряды

${\displaystyle a_{j}\in \mathbb {C} \left[\left[z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n-1}\right]\right],\quad a_{j}(0,0,\ldots ,0)=0,}$
${\displaystyle j=0,1,2,\ldots ,s-1,}$

для которых выполняется равенство

${\displaystyle g=hf+a_{0}+a_{1}z_{n}+\ldots +a_{s-1}z_{n}^{s-1}}$.

Подготовительная теорема Вейерштрасса верна также для колец формальных ограниченных рядов. Она даёт способ индуктивного перехода, например, от ${\displaystyle \mathbb {C} \left[\left[z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n-1}\right]\right]}$ к ${\displaystyle \mathbb {C} \left[\left[z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}\right]\right]}$. Таким образом удаётся установить некоторые свойства колец ${\displaystyle \mathbb {C} [z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}]}$ и ${\displaystyle \mathbb {C} \left[\left[z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}\right]\right]}$, например нётеровость и факториальность. Имеется обобщение этой теоремы для дифференцируемых функций (^[1]).