Параметры Кэли – Клейна

Пара́метры Кэ́ли – Кле́йна, некоторые специальные координаты в группе вращений трёхмерного пространства ${\displaystyle SO(3)}$, построение которых в конечном счёте основано на связи между ${\displaystyle SO(3)}$ и группой ${\displaystyle SU(2)}$ унитарных матриц 2-го порядка с единичным определителем. Существует отображение ${\displaystyle \varphi :SU(2)\rightarrow SO(3)}$, являющееся эпиморфизмом по своим алгебраическим свойствам и двулистным накрытием – по топологическим. (Рассматриваемое в некоторой окрестности единичной матрицы, это отображение обладает свойствами изоморфизма, поэтому говорят, что ${\displaystyle SO(3)}$ и ${\displaystyle SU(2)}$ локально изоморфны.) Каждая матрица ${\displaystyle V\in SU(2)}$ имеет вид ${\displaystyle \left\|_{-{\bar {\beta }}}{\frac {\alpha }{\alpha }}\right\|}$, где ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ – комплексные числа, связанные соотношением ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$. Их и принимают за параметры Кэли – Клейна для ${\displaystyle A=\varphi (V)}$. (Иногда под параметрами Кэли – Клейна понимают все четыре коэффициента матрицы ${\displaystyle V}$.) Построение конкретного отображения ${\displaystyle \varphi }$ с указанными свойствами можно осуществить по-разному, поэтому у различных авторов имеются некоторые различия в определении параметров Кэли – Клейна (см. ^[1]; ^[2]).

Поскольку ${\displaystyle \varphi }$ является не настоящим изоморфизмом, а только двулистным накрытием, то невозможно определить параметры Кэли – Клейна как (непрерывные) координаты на всей группе ${\displaystyle SO(3)}$; это можно сделать лишь локально. Однако параметры Кэли – Клейна можно использовать для изучения процесса вращения, при котором ${\displaystyle A}$ непрерывно зависит от действительного параметра ${\displaystyle t}$ (причём здесь нет необходимости как-либо ограничивать область возможных значений ${\displaystyle A}$). Действительно, если для некоторого ${\displaystyle t=t_{0}}$ выбрано какое-то фиксированное значение прообраза ${\displaystyle V\left(t_{0}\right)\in \varphi ^{-1}\left(A\left(t_{0}\right)\right)}$, то по непрерывности для всех ${\displaystyle t}$ однозначно определяются соответствующие ${\displaystyle V(t)}$. (Двузначность полного прообраза ${\displaystyle \varphi ^{-1}}$ проявляется лишь в том, что равенство ${\displaystyle A(t)=A(s)}$ имеет место не только при ${\displaystyle V(t)=V(s)}$, но и при ${\displaystyle V(t)=-V(s)}$.) Поэтому параметры Кэли – Клейна можно применять при исследовании движений твёрдого тела с неподвижной точкой (его конфигурационное пространство совпадает с ${\displaystyle SO(3)}$). Такой подход принят в (^[3]), однако он не получил широкого распространения.

Группа ${\displaystyle SU(2)}$ изоморфна группе кватернионов с единичной нормой, поэтому, переходя от ${\displaystyle V}$ к соответствующему кватерниону ${\displaystyle \rho +\lambda i+\mu j+\nu k}$, можно вместо параметров Кэли – Клейна пользоваться параметрами Эйлера – Родрига четырьмя действительными числами ${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \nu }$, удовлетворяющими соотношению ${\displaystyle \rho ^{2}+\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}=1}$. Они связаны простыми формулами c параметрами Кэли – Клейна (см. Klein. 1965; Синг. 1963) и обладают тем же свойством «двузначности» (историю вопроса см. в Klein. 1965). По существу, в относящихся сюда исследованиях впервые рассматривались двузначные представления группы вращениӥ (см. Спинор).