Унитарная матрица

Унита́рная ма́трица, квадратная матрица ${\displaystyle A=\left\|a_{ik}\right\|_{1}^{n}}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексных чисел, строки которой образуют ортонормированную систему, т. е.

${\displaystyle a_{i1}{\bar {a}}_{k1}+\ldots +a_{in}{\bar {a}}_{kn}={\begin{cases}1&{\text{ при }}\,\,i=k,\\0&{\text{ при }}\,\,i\neq k,\end{cases}}}$

${\displaystyle i,k=1,\ldots ,n}$. С помощью унитарной матрицы осуществляется переход от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису в унитарном пространстве. Унитарные матрицы служат также матрицами унитарных преобразований в ортонормированном базисе. Квадратная матрица ${\displaystyle A}$ с комплексными элементами унитарна тогда и только тогда, когда она удовлетворяет любому из следующих условий:

1) ${\displaystyle A^{*}A=E}$,

2) ${\displaystyle AA^{*}=E}$,

3) ${\displaystyle A^{*}=A^{-1}}$,

4) столбцы матрицы ${\displaystyle A}$ образуют ортонормированную систему (здесь ${\displaystyle A^{*}}$ – сопряжённая с ${\displaystyle A}$ матрица). Определитель унитарной матрицы есть комплексное число, модуль которого равен единице.