Параметрическое представление функции

Параметри́ческое представле́ние фу́нкции, задание функции ${\displaystyle y=f(x)}$, определённой, например, на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, с помощью пары функций ${\displaystyle x=\varphi (t)}$, ${\displaystyle y=\psi (t)}$, ${\displaystyle t\in [\alpha ,\beta ]}$, таких, что у функции ${\displaystyle {{\ce {\varphi:[\alpha, \beta] -> [ a, b]}}}}$ существует такая однозначная обратная функция ${\displaystyle {{\ce {\varphi^{-1}:[a, b] ->[\alpha, \beta]}}}}$, что ${\displaystyle f=\psi \circ \varphi ^{-1}}$, т. е. для любого ${\displaystyle x\in [a,b]}$ имеет место

${\displaystyle f(x)=\psi \left[\varphi ^{-1}(x)\right]}$.

Пример. Пара функций ${\displaystyle x=\cos t}$, ${\displaystyle y=\sin t}$, ${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant \pi }$, является параметрическим представлением функции ${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$, ${\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1}$.

Если в точке ${\displaystyle t_{0}\in [a,b]}$ параметрическое представление функции ${\displaystyle f}$ дифференцируемо, т. е. функции ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \psi }$ дифференцируемы, и ${\displaystyle \varphi ^{\prime }\left(t_{0}\right)\neq 0}$, то параметрически представленная функция ${\displaystyle f}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle x_{0}=\varphi \left(t_{0}\right)}$ и ${\displaystyle f^{\prime }\left(x_{0}\right)=\psi ^{\prime }\left(t_{0}\right)/\varphi ^{\prime }\left(t_{0}\right)}$. Если, кроме того, у функций ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \psi }$ в точке ${\displaystyle t_{0}}$ существуют производные порядка ${\displaystyle n=2,3,\ldots }$, то и у функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ существует производная порядка ${\displaystyle n}$, причём она является дробно-рациональной функцией от производных функций ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \psi }$ порядков ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$, в знаменателе которой стоит ${\displaystyle (2n-1)}$-я степень значения производной ${\displaystyle \varphi ^{\prime }\left(t_{0}\right)}$, например

${\displaystyle f^{\prime \prime }\left(x_{0}\right)={\frac {\psi ^{\prime \prime }\left(t_{0}\right)\varphi ^{\prime }\left(t_{0}\right)-\psi ^{\prime }\left(t_{0}\right)\varphi ^{\prime \prime }\left(t_{0}\right)}{\left[\varphi ^{\prime }\left(t_{0}\right)\right]^{3}}}}$.