Коммутант (в математике)

Коммута́нт, 1) коммутант группы (производная группа, второй член нижнего центрального ряда группы), подгруппа, порождаемая в группе ${\displaystyle G}$ всевозможными коммутаторами элементов группы ${\displaystyle G}$. Обычно коммутант группы ${\displaystyle G}$ обозначается ${\displaystyle [G,G]}$, или ${\displaystyle G^{\prime }}$, или ${\displaystyle \Gamma _{2}(G)}$. Коммутант группы является вполне характеристической подгруппой, а любая подгруппа, содержащая коммутант, является нормальным делителем этой группы. Факторгруппа по некоторому нормальному делителю абелева тогда и только тогда, когда этот нормальный делитель содержит коммутант группы.

2) Коммутант кольца ${\displaystyle R}$, идеал, порождённый всеми произведениями ${\displaystyle ab}$, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b\in R}$; он называется также квадратом кольца ${\displaystyle R}$ и обозначается ${\displaystyle [R,R]}$ или ${\displaystyle R^{2}}$.

Оба этих понятия – частные случаи понятия коммутанта мультиоператорной ${\displaystyle \Omega }$-группы ${\displaystyle G}$, определяемого как идеал, порождённый всеми коммутаторами и элементами вида

${\displaystyle -a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\omega -b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\omega +\left(a_{1}+b_{1}\right)\left(a_{2}+b_{2}\right)\ldots \left(a_{n}+b_{n}\right)\omega ,}$

где ${\displaystyle \omega }$ – ${\displaystyle n}$-арная операция из ${\displaystyle \Omega }$, а

${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\in G}$.