Алгебра Неймана

А́лгебра Не́ймана, подалгебра ${\displaystyle A}$ алгебры ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$, самосопряжённая (т. е. содержащая вместе с каждым оператором ${\displaystyle T}$ сопряжённый к нему оператор ${\displaystyle T^{*}}$) и совпадающая со своим бикоммутантом (т. е. содержащая те и только те операторы ${\displaystyle T\subset {\mathcal {B}}(H)}$, которые перестановочны с каждым оператором, перестановочным со всеми операторами из ${\displaystyle A}$). Эти алгебры были введены Дж. Нейманом. Согласно теореме Неймана, самосопряжённая алгебра ${\displaystyle A\subset {\mathcal {B}}(H)}$ тогда и только тогда является алгеброй Неймана, когда алгебра ${\displaystyle A}$ (или её единичный шар) замкнута в слабой, сильной, ультраслабой или ультрасильной, но не равномерной операторной топологии. Данная симметричная банахова алгебра ${\displaystyle B}$ тогда и только тогда изометрически изоморфна некоторой алгебре Неймана, когда ${\displaystyle B}$ есть C*-алгебра, изометричная некоторому сопряжённому пространству; банахово пространство ${\displaystyle E}$, удовлетворяющее условию ${\displaystyle E^{*}=B}$, определено однозначно с точностью до изометрического изоморфизма и может быть отождествлено с пространством ультраслабонепрерывных линейных форм на изометрически изоморфной ${\displaystyle B}$ алгебре Неймана; это пространство обозначается ${\displaystyle B_{*}}$ и называется преддвойственным пространством для ${\displaystyle B}$. Такие симметричные банаховы алгебры называются ${\displaystyle W^{*}}$-алгебрами. Пусть ${\displaystyle A}$ алгебра Неймана в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle A^{\prime }}$ – её коммутант, ${\displaystyle Z=A\cap A^{\prime }}$ – центр алгебры, ${\displaystyle P}$ – проектор в ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle P^{\prime }}$ – проектор в ${\displaystyle A^{\prime }}$. Подпространство ${\displaystyle P^{\prime }H}$ инвариантно относительно ${\displaystyle A}$, и семейство ограничений операторов из ${\displaystyle A}$ на подпространство ${\displaystyle P^{\prime }H}$ образует алгебру Неймана в пространстве ${\displaystyle P^{\prime }H}$; эта алгебра обозначается ${\displaystyle A_{P}^{\prime }}$ и называется индуцированной, а отображение ${\displaystyle T\rightarrow T\mid _{P^{\prime }H}}$ называется индукцией ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle A_{P^{\prime }}}$; семейство ограничений операторов вида ${\displaystyle PTP}$, ${\displaystyle T\in A}$, на подпространство ${\displaystyle PH}$ образует алгебру Неймана ${\displaystyle A_{P}}$ в пространстве ${\displaystyle PH}$, эта алгебра называется редуцированной. Если ${\displaystyle P=P^{\prime }\in Z}$, то редуцированная и индуцированная алгебры Неймана совпадают. Изометрический изоморфизм алгебры Неймана называют алгебраическим; алгебру Неймана в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ называют пространственно изоморфной алгебре Неймана ${\displaystyle B}$ в пространстве ${\displaystyle K}$, если существует унитарный оператор ${\displaystyle U}$, отображающий ${\displaystyle H}$ на ${\displaystyle K}$ и удовлетворяющий условию ${\displaystyle B=UAU^{-1}}$. Пересечение любого семейства алгебр Неймана в данном гильбертовом пространстве есть алгебра Неймана; наименьшая алгебра Неймана, содержащая данное множество ${\displaystyle M}$, называется алгеброй Неймана, порождённой множеством ${\displaystyle M}$.

Пусть ${\displaystyle H_{i}}$, ${\displaystyle i\in I}$ – гильбертовы пространства, ${\displaystyle H=\sum ^{\oplus }H_{i}}$ – их прямая сумма, ${\displaystyle A_{i}}$ – алгебра Неймана в ${\displaystyle H_{i}}$, ${\displaystyle A}$ – алгебра Неймана в пространстве ${\displaystyle H}$, порождённая такими операторами ${\displaystyle T}$ из ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$, что каждое подпространство ${\displaystyle H_{i}}$ инвариантно относительно ${\displaystyle T}$ и ограничение ${\displaystyle T}$ на ${\displaystyle H_{i}}$ принадлежит ${\displaystyle A_{i}}$; алгебра Неймана ${\displaystyle A}$ называется прямым произведением алгебр Неймана ${\displaystyle A_{i}}$ и обозначается ${\displaystyle A=\times _{i\in I}A_{i}}$. Для алгебр Неймана определены также операции тензорного произведения и бесконечного тензорного произведения. Алгебра Неймана называется фактором, если её центр состоит из операторов, кратных единичному.

Пусть ${\displaystyle A}$ – алгебра Неймана, ${\displaystyle A^{+}}$ – множество положительных операторов из ${\displaystyle A}$. Весом на ${\displaystyle A}$ называют аддитивное отображение ${\displaystyle \varphi }$ множества ${\displaystyle A^{+}}$ в ${\displaystyle [0,\infty ]}$, однородное относительно умножений на положительные числа. Вес ${\displaystyle \varphi }$ называют следом, если ${\displaystyle \varphi (UTU^{-1})=\varphi (T)}$ для всех ${\displaystyle T\in A^{+}}$ и всех унитарных операторов ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle A}$. След называется конечным, если ${\displaystyle \varphi (T)<\infty }$ для всех ${\displaystyle T\in A}$; полуконечным, если для любого ${\displaystyle S\in A^{+}}$ величина ${\displaystyle \varphi (S)}$ есть верхняя грань чисел вида ${\displaystyle \varphi (T)}$, где ${\displaystyle \varphi (T)<\infty }$ и ${\displaystyle 0\leqslant T\leqslant S}$; точным, если из условия ${\displaystyle \varphi (T)=0}$, ${\displaystyle T\in A^{+}}$, следует ${\displaystyle T=0}$; нормальным, если для любого возрастающего семейства ${\displaystyle T_{\alpha }}$ элементов из ${\displaystyle A^{+}}$ с точной верхней границей ${\displaystyle T}$ величина ${\displaystyle \varphi (T)}$ является верхней гранью чисел ${\displaystyle \varphi (T_{\alpha })}$. Алгебра Неймана ${\displaystyle A}$ называется конечной, если на ${\displaystyle A}$ существует семейство нормальных конечных следов, разделяющее точки ${\displaystyle A}$; собственно бесконечной, если на ${\displaystyle A}$ не существует ненулевых конечных следов; полуконечной, если на ${\displaystyle A}$ существует точный нормальный полуконечный след, и чисто бесконечной, или алгеброй типа ${\displaystyle {\text{ III }}}$, если на ${\displaystyle A}$ не существует ненулевых нормальных полуконечных следов. Алгебра Неймана называется дискретной, или алгеброй типа ${\displaystyle {\text{ I }}}$, если она алгебраически изоморфна алгебре Неймана, коммутант которой коммутативен; такая алгебра полуконечна. Алгебра Неймана называется непрерывной, если для любого ненулевого центрального проектора ${\displaystyle P}$ алгебры Неймана${\displaystyle A_{P}}$ не является дискретной. Непрерывная полуконечная алгебра называется алгеброй типа${\displaystyle {\text{ II }}}$. Конечная алгебра типа${\displaystyle {\text{ II }}}$называется алгеброй Неймана типа ${\displaystyle {\text{ II }}_{1}}$; собственно бесконечная алгебра типа ${\displaystyle {\text{ II }}}$называется алгеброй Неймана типа ${\displaystyle {\text{ II }}_{\infty }}$. Принадлежность алгебры Неймана к определённому типу равносильна принадлежности её коммутанта тому же типу, но коммутант конечной алгебры Неймана не обязательно является конечной алгеброй Неймана.

Пусть ${\displaystyle A}$ – алгебра Неймана, ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$ – проекторы в ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ называются эквивалентными, ${\displaystyle P\sim Q}$, если существует такой элемент ${\displaystyle U\in A}$, что ${\displaystyle P=U^{*}U}$, ${\displaystyle Q=UU^{*}}$. Пусть ${\displaystyle P\prec Q}$, если существует такой проектор ${\displaystyle P_{1}\in A}$, что ${\displaystyle P\sim P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{1}\leqslant Q}$ ; отношение ${\displaystyle \prec }$ есть отношение частичного порядка. Классификация алгебр Неймана по типам может быть проведена в терминах этого отношения, в частности: проектор ${\displaystyle P\in A}$ называют конечным, если из условий ${\displaystyle P_{1}\in A}$, ${\displaystyle P_{1}\sim P}$, ${\displaystyle P_{1}\leqslant P}$ следует, что ${\displaystyle P_{1}=P}$; алгебра Неймана конечна тогда и только тогда, когда единичный проектор конечен, и полуконечна, если и только если точная верхняя граница семейства конечных проекторов есть единичный проектор.

Алгебра Неймана ${\displaystyle A}$ полуконечна тогда и только тогда, когда она может быть реализована как левая алгебра Неймана некоторой совершенной гильбертовой алгебры; элементами соответствующей гильбертовой алгебры являются такие элементы ${\displaystyle x\in A}$, что ${\displaystyle \varphi (x^{*}x)<\infty }$, где ${\displaystyle \varphi }$ – точный нормальный полуконечный след на ${\displaystyle A}$. Для алгебр типа${\displaystyle {\text{ III }}}$соответствующая реализация может быть получена с помощью обобщённых гильбертовых алгебр и весов на алгебре Неймана.

Пусть ${\displaystyle H_{p}}$ – фиксированное гильбертово пространство размерности ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle p=1\dots \aleph _{0}}$, ${\displaystyle Z}$ – борелевское пространство, ${\displaystyle \mu }$ – положительная мера на ${\displaystyle Z}$, ${\displaystyle Z=\cup _{p=1}^{\aleph _{0}}Z_{p}}$ – разбиение ${\displaystyle Z}$ на непересекающиеся измеримые подмножества, ${\displaystyle L_{2}(Z_{p},\mu ,H_{p})}$ – гильбертово пространство суммируемых с квадратом ${\displaystyle \mu }$ – измеримых отображений пространства ${\displaystyle Z_{p}}$ в ${\displaystyle H_{p}}$,

${\displaystyle H=\oplus _{p=1}^{\infty }L_{2}(Z_{p},\mu ,H_{p}).}$

Пусть ${\displaystyle H(\zeta )=H_{p}}$ при ${\displaystyle \zeta \in Z_{p}}$; если ${\displaystyle f\in H}$, то ${\displaystyle f=\sum _{p}f_{p}}$, где ${\displaystyle f_{p}\in L_{2}(Z_{p},\mu ,H_{p})}$; пусть ${\displaystyle f(\zeta )=f_{p}(\zeta )}$ при ${\displaystyle \zeta \in Z_{p}}$; отображение ${\displaystyle \zeta \rightarrow T(\zeta )}$, где ${\displaystyle T(\zeta )}$ – непрерывный линейный оператор в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H(\zeta )}$, называется измеримым полем операторов, если для любого ${\displaystyle f\in H}$ функция ${\displaystyle \zeta \rightarrow T(\zeta )f(\zeta )}$ измерима на каждом множестве ${\displaystyle Z_{p}}$. Если ${\displaystyle \zeta \rightarrow T(\zeta )}$ – измеримое поле операторов и функция ${\displaystyle \zeta \rightarrow \|T(\zeta )\|}$ существенно ограничена на ${\displaystyle Z}$, то для любого ${\displaystyle f\in H}$ существует единственный вектор ${\displaystyle g\in H}$ такой, что ${\displaystyle g(\zeta )=T(\zeta )f(\zeta )}$ ${\displaystyle \mu }$-почти всюду. Отображение ${\displaystyle T:H\rightarrow H}$, определённое формулой ${\displaystyle Tf=g}$ для всех ${\displaystyle f\in H}$, является ограниченным линейным оператором в ${\displaystyle H}$, и

${\displaystyle \|T\|={\mathop {\rm {ess}} \sup }_{\zeta \in Z}\ \|T(\zeta )\|.}$

Такой оператор ${\displaystyle T}$ в ${\displaystyle H}$ называют разложимым. Пусть для любого ${\displaystyle \zeta \in Z}$ определена алгебра Неймана ${\displaystyle A(\zeta )}$ в пространстве ${\displaystyle H}$${\displaystyle (\zeta )}$; отображение ${\displaystyle \zeta \rightarrow A(\zeta )}$ называется измеримым полем алгебр Неймана, если существует такая последовательность ${\displaystyle \left\{\zeta \rightarrow T_{n}(\zeta )\right\}}$ измеримых операторных полей, что при любом ${\displaystyle \zeta \in Z}$ алгебра Неймана ${\displaystyle A(\zeta )}$ порождается операторами ${\displaystyle T_{n}(\zeta )}$. Множество всех таких разложимых операторов ${\displaystyle T}$ в ${\displaystyle H}$, что ${\displaystyle T(\zeta )\in A}$${\displaystyle (\zeta )}$ при каждом ${\displaystyle \zeta \in Z}$, есть алгебра Неймана в ${\displaystyle H}$, обозначаемая

${\displaystyle A=\int \limits ^{\oplus }A(\zeta )d\mu (\zeta ),}$

она называется прямым интегралом алгебр Неймана ${\displaystyle A(\zeta )}$ по мере ${\displaystyle \mu }$. Любая алгебра Неймана в сепарабельном гильбертовом пространстве изоморфна некоторому прямому интегралу факторов. Произвольная алгебра Неймана может быть подвергнута алгебраическому разложению, в связи с чем теория факторов и представляет интерес для общей теории алгебры Неймана.

Алгебры Неймана естественно возникают в задачах, связанных с операторами в гильбертовом пространстве, и имеют многочисленные приложения как в самой теории операторов и теории представлений групп и алгебр, так и в теории динамических систем, статистической физике и квантовой теории поля.