Общий интеграл

О́бщий интегра́л системы обыкновенных дифференциальных уравнений ${\displaystyle n}$-го порядка

${\displaystyle x_{i}'=f_{i}(t,x_{1},\ldots ,x_{n}),\quad i=1,\ldots ,n,}$ (1)

в области ${\displaystyle G}$, совокупность ${\displaystyle n}$ соотношений

${\displaystyle \Phi _{i}(t,x_{1},\ldots ,x_{n})=C_{i},\quad i=1,\ldots ,n,}$ (2)

содержащая ${\displaystyle n}$ параметров ${\displaystyle (C_{1},\ldots ,C_{n})\in C\subset \mathbf {R} ^{n}}$ и в неявном виде описывающая семейство функций, составляющих общее решение этой системы в области ${\displaystyle G}$. Часто общий интеграл системы ${\displaystyle (1)}$ называют не соотношения ${\displaystyle (2)}$, а совокупность функций

${\displaystyle \Phi _{i}(t,x_{1},\ldots ,x_{n}),\quad i=1,\ldots ,n.}$ (3)

Каждое из соотношений ${\displaystyle (2)}$ [или каждая из функций ${\displaystyle (3)}$] называется первым интегралом системы ${\displaystyle (1)}$. Иногда под общим интегралом системы ${\displaystyle (1)}$ понимают совокупность более общих, чем ${\displaystyle (2)}$, соотношений

${\displaystyle \Phi _{i}(t,x_{1},\ldots ,x_{n},C_{1},...,C_{n})=0,\quad i=1,\ldots ,n}$.

В случае обыкновенного дифференциального уравнения ${\displaystyle n}$-го порядка

${\displaystyle y^{(n)}=f(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)})}$.

Общий интеграл в области ${\displaystyle G}$ представляет собой одно соотношение с ${\displaystyle n}$ параметрами

${\displaystyle \Phi (x,y,C_{1},\ldots ,C_{n})=0}$,

в виде неявной функции, описывающее общее решение этого уравнения в области ${\displaystyle G}$.

Общий интеграл дифференциального уравнения с частными производными 1-го порядка называется соотношение между переменными, входящими в уравнение, содержащее одну произвольную функцию и определяющее при каждом выборе этой функции решение уравнения.