Обратные гиперболические функции

Обра́тные гиперболи́ческие фу́нкции (ареафункции), функции, обратные гиперболическим функциям: ареасинус гиперболический, ареакосинус гиперболический, ареатангенс гиперболический, ареакотангенс гиперболический, обозначаются соответственно: ${\displaystyle {\textrm {Arsh}}\,x,{\textrm {Arch}}\,x,{\textrm {Arth}}\,x,{\textrm {Arcth}}\,x}$. Эти названия происходят от латинского area – площадь (гиперболические функции могут рассматриваться как функции площади гиперболического сектора). Другие обозначения: ${\displaystyle \operatorname {arsh} x,\operatorname {sh} ^{-1}x;\operatorname {arch} x,\operatorname {ch} ^{-1}x;\operatorname {arth} x,\operatorname {th} ^{-1}x}$; ${\displaystyle \operatorname {arcth} x,\operatorname {cth} ^{-1}x}$. Впервые обратные гиперболические функции изучал французский математик Г. Ж. Уэль (1878).

Обратные гиперболические функции действительного переменного ${\displaystyle x}$ вычисляются по формулам:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textrm {Arsh}}\,x&=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}},\quad -\infty <x<\infty ,\\{\textrm {Arch}}\,x&=\pm \ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}},\quad x\geqslant 1,\\{\textrm {Arth}}\,x&={\dfrac {1}{2}}\ln {\dfrac {1+x}{1-x}},\quad |x|<1,\\{\textrm {Arcth}}\,x&={\dfrac {1}{2}}\ln {\dfrac {x+1}{x-1}},\quad |x|>1.\end{aligned}}}$

Обратные гиперболические функции однозначны и непрерывны в каждой точке своей области определения, за исключением функции ${\displaystyle {\textrm {Arch}}\,x}$, которая двузначна. При изучении свойств обратной гиперболической функции для ${\displaystyle {\textrm {Arch}}\,x}$ выбирается одна из её непрерывных ветвей, т. е. в формуле для ${\displaystyle {\textrm {Arch}}\,x}$ выбирается только один знак: плюс или минус. Свойства обратных гиперболических функций вытекают из свойств гиперболических функций или непосредственно из формул для обратных гиперболических функций, т. е. из свойств логарифмической функции. Графики обратных гиперболических функций получаются из графиков гиперболических функций зеркальным отражением относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Производные обратных гиперболических функций находятся по формулам

${\displaystyle {\begin{aligned}({\textrm {Arsh}}\,x)'&={\dfrac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},\\({\textrm {Arch}}\,x)'&=\pm {\dfrac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},\\({\textrm {Arth}}\,x)'&={\dfrac {1}{1-x^{2}}},\\({\textrm {Arcth}}\,x)'&=-{\dfrac {1}{x^{2}-1}}.\end{aligned}}}$

Обратные гиперболические функции связаны между собой рядом соотношений. Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textrm {Arsh}}\,x&={\textrm {Arth}}{\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}},\\{\textrm {Arth}}\,x&={\textrm {Arth}}{\dfrac {1}{x}}={\textrm {Arsh}}{\dfrac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}.\end{aligned}}}$

Обратные гиперболические функции комплексного переменного ${\displaystyle z=x+iy}$ определяются по формулам:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textrm {Arsh}}\,z&={\textrm {Ln}}(z+{\sqrt {z^{2}+1}},\\{\textrm {Arch}}\,z&={\textrm {Ln}}(z+{\sqrt {z^{2}-1}},\\{\textrm {Arth}}\,z&={\dfrac {1}{2}}{\textrm {Ln}}{\dfrac {1+z}{1-z}},\\{\textrm {Arcth}}\,z&={\dfrac {1}{2}}{\textrm {Ln}}{\dfrac {z+1}{z-1}},\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle {\textrm {Ln}}z}$ – логарифмическая функция комплексного переменного. Обратные гиперболические функции комплексного переменного являются аналитическими продолжениями соответствующих функций действительного переменного в комплексную плоскость.

Обратные гиперболические функции выражаются через обратные тригонометрические функции по формулам:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textrm {Arsh}}\,z&=-i\,\arcsin \,iz,\\{\textrm {Arch}}\,z&=i\,\arccos \,z,\\{\textrm {Arth}}\,z&=-i\,{\textrm {arccot}}\,iz,\\{\textrm {Arcth}}\,z&=i\,{\textrm {arccot}}\,iz.\end{aligned}}}$