Нецентральное распределение хи-квадрат

Нецентра́льное распределе́ние хи-квадра́т (нецентральное ${\displaystyle \chi ^{2}}$-распределение), непрерывное, сосредоточенное на положительной полуоси ${\displaystyle 0<x<\infty }$ распределение вероятностей с плотностью

${\displaystyle p(x)={\frac {e^{\frac {x+\lambda }{2}}x^{\frac {n-2}{2}}}{2^{n/2}\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{r}x^{r}}{(2r)!}}\,{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+r\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+r\right)}}}$,

где ${\displaystyle n}$ – число степеней свободы, а ${\displaystyle \lambda }$ – параметр нецентральности. При ${\displaystyle \lambda =0}$ эта плотность совпадает с плотностью обычного (центрального) хи-квадрат распределения. Характеристическая функция нецентрального ${\displaystyle \chi ^{2}}$-распределения выражается формулой

${\displaystyle \varphi (t)=(1-2it)^{-n/2}\exp \left\{{\frac {\lambda it}{1-2it}}\right\}}$;

математическое ожидание и дисперсия равны соответственно ${\displaystyle n+\lambda }$ и ${\displaystyle 2(n+2\lambda )}$. Нецентральное ${\displaystyle \chi ^{2}}$-распределение принадлежит классу безгранично делимых распределений.

Обычно нецентральное ${\displaystyle \chi ^{2}}$-распределение появляется как распределение суммы квадратов независимых случайных величин ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$, имеющих нормальное распределение с отличными от нуля средними ${\displaystyle m_{i}}$ и единичными дисперсиями, точнее, сумма ${\displaystyle X_{1}^{2}+\ldots +X_{n}^{2}}$ имеет нецентральное ${\displaystyle \chi ^{2}}$-распределение с ${\displaystyle n}$ степенями свободы и параметром нецентральности ${\displaystyle \lambda =\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}^{2}}$. Сумма нескольких взаимно независимых случайных величин с нецентральным ${\displaystyle \chi ^{2}}$-распределением имеет распределение этого же типа, и его параметры суть суммы соответствующих параметров слагаемых.

Если число ${\displaystyle n}$ чётное, то функция распределения нецентрального ${\displaystyle \chi ^{2}}$-распределения ${\displaystyle F_{n}(x;\lambda )}$ (всегда равная нулю при ${\displaystyle x\leqslant 0}$) при ${\displaystyle x>0}$ равна

${\displaystyle F_{n}(x;\lambda )=\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{k=m+{\frac {1}{2}}}^{\infty }{\frac {\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)^{k}}{m!k!}}e^{-{\frac {\lambda +x}{2}}}}$.

Эта формула устанавливает связь между нецентральным ${\displaystyle \chi ^{2}}$-распределением и распределением Пуассона. Именно, если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ имеют распределения Пуассона с параметрами ${\displaystyle {\dfrac {x}{2}}}$ и ${\displaystyle {\dfrac {\lambda }{2}}}$ соответственно, то для любого целого ${\displaystyle s>0}$

${\displaystyle {\mathsf {P}}\{X-Y\geqslant s\}=F_{2s}(x;\lambda )}$.

Нецентральное ${\displaystyle \chi ^{2}}$-распределение часто возникает в задачах математической статистики, посвящённых исследованию мощности критериев типа хи-квадрат. Так как существующие таблицы нецентрального ${\displaystyle \chi ^{2}}$-распределения недостаточно полны, то в статистических приложениях широко используют различные приближения с помощью ${\displaystyle \chi ^{2}}$-распределения и нормального распределения.