Неравенство Рао – Крамера

Нера́венство Ра́о – Краме́ра (неравенство Фреше, неравенство информации), неравенство в математической статистике, устанавливающее нижнюю границу среднеквадратичных погрешностей статистических оценок параметров. Пусть по выборке ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ с плотностью распределения ${\displaystyle p(x,\Theta )}$ требуется оценить неизвестный параметр ${\displaystyle \Theta }$. Пусть ${\displaystyle T(X_{1},...,X_{n})}$ – оценка этого параметра такая, что ${\displaystyle {\mathsf {P}}_{\Theta }{\it {T=\Theta +b(\Theta )}}}$, где ${\displaystyle b}$ – дифференцируемая функция, называемая смещением оценки ${\displaystyle T}$. Тогда при определённых условиях регулярности, наложенных на семейство ${\displaystyle p(x,\Theta )}$, справедливо неравенство

${\displaystyle {\mathsf {E}}{\rm {\it {_{\Theta }(T-\Theta )^{2}\geqslant (1+b(\Theta ))^{2}/(nI(\Theta ))+b^{2}(\Theta )}}}}$.

Здесь ${\displaystyle I(\Theta )={\mathsf {E}}_{\Theta }{\it {(\partial \ln p(X_{1},q)/\partial q)^{2}}}}$ – информационное количество Фишера, которое предполагается положительным и конечным. В частности, если ${\displaystyle T}$ является несмещённой оценкой ${\displaystyle \Theta }$, т. е. ${\displaystyle {\mathsf {E}}_{\Theta }{\it {T=\Theta }}}$, то следствием этого неравенства является нижняя оценка дисперсии

${\displaystyle {\mathsf {D}}{\it {T\geqslant 1/(nI(\Theta ))}}}$.

Если в этом неравенстве для какой-то несмещённой оценки ${\displaystyle T}$ достигается равенство, то она в определённом смысле является наилучшей и называется эффективной оценкой. Неравенство Рао – Крамера получено независимо Х. Крамером (1946), индийским математиком К. Р. Рао (1945) и М. Р. Фреше (1943).