Квадратичное отклонение

Квадрати́чное отклоне́ние (квадратичное уклонение, стандартное уклонение, среднее квадратичное отклонение) величин ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ от заданной величины ${\displaystyle a}$ определяется равенством

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {(x_{1}-a)^{2}+\ldots +(x_{n}-a)^{2}}{n}}}}$.

Наименьшее значение квадратичного отклонения достигается при ${\displaystyle a={\bar {x}}}$, где ${\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1}+\ldots +x_{n})/n}$ – среднее арифметическое величин ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$. В этом случае квадратичное отклонение может служить мерой рассеяния величин ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$. Иногда употребляют взвешенное квадратичное отклонение, равное

${\displaystyle {\sqrt {\frac {p_{1}(x_{1}-a)^{2}+\ldots +p_{n}(x_{n}-a)^{2}}{p_{1}+\ldots +p_{n}}}},}$

при этом положительные числа ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ называются весами, соответствующими величинам ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$. Взвешенное квадратичное отклонение достигает наименьшего значения при ${\displaystyle a}$, равном взвешенному среднему

${\displaystyle (p_{1}x_{1}+\ldots +p_{n}x_{n})/(p_{1}+\ldots +p_{n})}$.

В теории вероятностей квадратичным отклонением ${\displaystyle \sigma _{X}}$ случайной величины ${\displaystyle X}$ (от её математического ожидания) называется положительный квадратный корень из её дисперсии. В математической статистике квадратичное отклонение употребляют как меру качества статистических оценок и называют в этом случае квадратичной ошибкой.