Непараметрические методы математической статистики

Непараметри́ческие ме́тоды математи́ческой стати́стики, методы, не предполагающие знания функционального вида теоретического распределения. Название «непараметрические методы» подчёркивает их отличие от классических (параметрических) методов, в которых предполагается, что неизвестное теоретическое распределение принадлежит какому-либо семейству, зависящему от конечного числа параметров (например, семейству нормальных распределений), и которые позволяют по результатам наблюдений оценивать неизвестные значения этих параметров и проверять те или иные гипотезы относительно их значений.

Одним из непараметрических методов является критерий Колмогорова проверки согласованности теоретических и эмпирических распределений. Пусть взаимно независимые случайные величины ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ (выборка объёма ${\displaystyle n}$) имеют теоретическую функцию распределения ${\displaystyle F(x)}$ и пусть ${\displaystyle F_{n}(x)}$ – эмпирическая функция распределения, построенная по наблюдениям над этими случайными величинами (${\displaystyle F_{n}}$ является несмещённой и состоятельной оценкой для ${\displaystyle F}$). Пусть ${\displaystyle D_{n}}$ – наибольшее по абсолютной величине значение разности ${\displaystyle F_{n}(x)-F(x)}$. Случайная величина ${\displaystyle {\sqrt {n}}D_{n}}$ имеет, в случае непрерывности ${\displaystyle F(x)}$, функцию распределения ${\displaystyle K_{n}(\lambda )}$, не зависящую от ${\displaystyle F}$ и стремящуюся при возрастании ${\displaystyle n}$ к пределу

${\displaystyle \displaystyle K(\lambda )=\sum _{j=-\infty }^{\infty }(-1)^{j}e^{-2j^{2}\lambda ^{2}}}$.

Отсюда при достаточно больших ${\displaystyle n}$ для вероятности ${\displaystyle p_{n,\lambda }}$ неравенства ${\displaystyle {\sqrt {n}}D_{n}\geqslant \lambda }$ получается приближённое выражение

${\displaystyle p_{n,\lambda }\approx 1-K(\lambda );}$ (*)

функция${\displaystyle K(\lambda )}$ табулирована. Её значения для некоторых ${\displaystyle \lambda }$ приведены в таблице.

Таблица значений функции ${\displaystyle K(\lambda )}$
${\displaystyle \lambda }$	0,57	0,71	0,83	1,02	1,36	1,63
${\displaystyle K(\lambda )}$	0,10	0,30	0,50	0,75	0,95	0.99

Равенство ${\displaystyle (*)}$ используется для проверки гипотезы о том, что теоретическим распределением является распределение с заданной непрерывной функцией распределения ${\displaystyle F(x)}$: сначала по результатам наблюдений находят значение величины ${\displaystyle D_{n}}$, а затем по формуле ${\displaystyle (*)}$ вычисляют вероятность получить отклонение ${\displaystyle F_{n}}$ от ${\displaystyle F}$, большее или равное наблюдённому. Если указанная вероятность достаточно мала, точнее – равна наперёд заданному малому положительному числу ${\displaystyle \alpha }$, то в соответствии с общими принципами проверки статистических гипотез проверяемую гипотезу отвергают. В противном случае считают, что результаты опыта не противоречат проверяемой гипотезе. Аналогично проверяется гипотеза о том, что для двух независимых выборок объёмов ${\displaystyle n_{1}}$ и ${\displaystyle n_{2}}$ соответствующие (непрерывные) теоретические функции распределения одинаковы (гипотеза однородности двух выборок). При этом вместо формулы ${\displaystyle (*)}$ пользуются тем, что вероятность неравенства

${\displaystyle D_{n_{1},n_{2}}{\sqrt {\dfrac {n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}}<\lambda }$

имеет пределом ${\displaystyle K(\lambda )}$, где ${\displaystyle D_{n_{1},n_{2}}}$ есть наибольшее по абсолютной величине значение разности ${\displaystyle F_{n_{1}}(x)-F_{n_{2}}(x)}$. Приведённые примеры относятся к непараметрическим методам, основанным на разностях теоретических и эмпирических или двух эмпирических функций распределения.

Значительное место в современной математической статистике занимают непараметрические методы, в которых используются не сами эмпирические функции распределения, а некоторые функции от порядковых статистик – членов вариационного ряда. Если используются порядковые номера результатов наблюдений (они называются рангами), то такие непараметрические методы называются ранговыми, они, как правило, являются критериями однородности. Например, пусть ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ и ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{m}}$ – взаимно независимые элементы двух выборок с непрерывными функциями распределения. Для проверки гипотезы о том, что эти функции распределения одинаковы, можно использовать ранговый критерий, основанный на значениях функций

${\displaystyle W=s(r_{1})+s(r_{2})+\dots +s(r_{m})}$,

где ${\displaystyle r_{j}}$ – ранги случайных величин ${\displaystyle Y_{j},\;j=1,2,\dots ,m}$, в общем вариационном ряду ${\displaystyle X_{i}}$ и ${\displaystyle Y_{j}}$, а ${\displaystyle s(1),s(2),\dots ,s(n+m)}$ – одна из возможных перестановок чисел ${\displaystyle 1,2,\dots ,n+m}$. Выбор перестановки может быть осуществлён оптимальным образом.