Порядковые статистики

Поря́дковые стати́стики, элементы${\displaystyle X_{(j)}}$, ${\displaystyle j=1,2,\ldots ,n}$ вариационного ряда ${\displaystyle X_{(1)},X_{(2)},\ldots ,X_{(n)}}$, построенного по выборке ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$. Если величины ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ независимы и имеют общую функцию распределения ${\displaystyle F}$, то функция распределения случайной величины ${\displaystyle X_{(j)}}$ есть

${\displaystyle F_{j}(x)={\rm {{P}{\it {\{X_{(j)}<x\}=\sum _{i=j}^{n}C_{n}^{i}F^{i}(x)(1-F(x))^{n-i}}}}}}$,

${\displaystyle j=1,2,\ldots ,n}$. В частности, ${\displaystyle F_{n}(x)=F^{n}(x)}$, ${\displaystyle F_{1}(x)=1-(1-F(x))n}$.

В асимптотической теории при неограниченном увеличении объёма выборки рассматривают порядковые статистики с номерами ${\displaystyle j=j(n)}$ такими, что существует ${\displaystyle \lim \limits _{n->\infty }{\frac {j(n)}{n}}}$, ${\displaystyle 0\leqslant \alpha \leqslant 1}$. Случаю ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ соответствуют центральные порядковые статистики, а ${\displaystyle \alpha =0}$ и ${\displaystyle \alpha =1}$ – крайние порядковые статистики. Центральные порядковые статистики обычно асимптотически нормальны. Крайние порядковые статистики обладают (при надлежащих центрировании и нормировании) специфическими предельными распределениями, которые хорошо изучены.