Вариационный ряд

Вариацио́нный ряд, последовательность каких-либо чисел, расположенная в порядке неубывания их величин. Например, вариационный ряд чисел ${\displaystyle 1,-3,8,2}$ имеет вид ${\displaystyle -3,1,2,8}$. В теории вероятностей и математической статистике вариационный ряд – последовательность ${\displaystyle X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq \ldots \leq X_{(n)}}$, полученная в результате расположения в порядке неубывания исходной последовательности случайных величин ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots X_{n}}$. В случае независимых случайных величин с общей функцией распределения${\displaystyle F(x)}$ вариационный ряд служит для построения эмпирической функции распределения ${\displaystyle {\widehat {F}}_{n}(x)=\mu _{n}(x)/n}$, где ${\displaystyle \mu _{n}(x)}$ – число членов вариационного ряда, меньших ${\displaystyle x}$. Эта функция является оценкой функции распределения ${\displaystyle F(x)}$. Промежуток ${\displaystyle (X_{(1)},X_{(n)})}$ между крайними членами вариационного ряда называется интервалом варьирования, его длина – размахом выборки, крайние члены

${\displaystyle X_{(1)}=\min \limits _{1\leq k\leq n}X_{k}}$ и ${\displaystyle X_{(n)}=\max \limits _{1\leq k\leq n}X_{k}}$, имеющие функции распределения ${\displaystyle 1-(1-F(x))^{n}}$ и
${\displaystyle F^{n}(x)}$, – экстремальными значениями вариационного ряда, величина ${\displaystyle X_{(k)}}$, ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$, называется ${\displaystyle k}$-й порядковой статистикой. Величина ${\displaystyle X_{(m+1)}}$, где ${\displaystyle m=[n/2]}$ при нечётном ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle X_{(m)}/2+X_{(m+1)}/2}$ при чётном ${\displaystyle n}$, называется выборочной медианой. По функции распределения ${\displaystyle F(x)}$ исходных случайных величин ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ вычисляются распределения любого члена вариационного ряда и совместные распределения его членов. На основе порядковых статистик строятся ранговые критерии, теория которых составляет важный раздел непараметрической статистики.