Модель ценообразования опционов Блэка – Шоулза – Мертона

Моде́ль ценообразова́ния опцио́нов Блэ́ка – Шо́улза – Ме́ртона, математическая модель динамики цен финансовых активов, позволяющая получить явное представление (формулу) для цены опциона европейского типа.

Главной предпосылкой модели является предположение о том, что динамика цены базового актива опциона описывается случайным процессом в непрерывном времени вида т. н. геометрического броуновского движения:

${\displaystyle dS=\mu Sdt+\sigma Sdw}$ (1),

где μ, σ – постоянные, w – стандартный винеровский процесс, t – время. Также модель предполагает, что торговля базовым и безрисковым активами может проводиться непрерывно, в том числе дробными долями, без транcакционных издержек. Краткосрочная безрисковая ставка предполагается единой на привлечение и размещение и постоянной во времени. Допускаются короткие продажи. Тогда справедливая (безарбитражная) цена колл-опциона европейского типа на финансовый актив, не приносящий дивидендного либо процентного дохода в период действия опциона, равна

${\displaystyle C=S_{0}N(d_{1})-e^{-rT}KN(d_{2})}$ (2),

где:

S₀ – цена базового актива в настоящий момент,

K – цена исполнения опциона,

T – время, оставшееся до исполнения опциона,

r – безрисковая ставка,

σ – волатильность доходности базового актива в модели (1),

N(.) – интегральная функция распределения стандартного нормального распределения,

${\displaystyle d_{1}=(ln(S_{0}/K)+(r+\sigma ^{2}/2)T)/(\sigma {\sqrt {T}})}$

${\displaystyle d_{2}=(ln(S_{0}/K)+(r-\sigma ^{2}/2)T)/(\sigma {\sqrt {T}})=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}}$.

Формула для цены пут-опциона имеет вид:

${\displaystyle P=e^{-rT}KN({\text{〖}}-d{\text{〗}}_{2}){\text{〖}}-S{\text{〗}}_{0}N(-d_{1})}$.

Имеются модификации формулы (2) для других видов базовых активов: дивидендных акций, валют, фьючерсов и др.

Формула (2) была получена в конце 1960-х гг. Эдвардом Торпом, но не была им ни доказана, ни опубликована, хотя использовалась на практике. В 1973 г. Ф. Блэк, М. Шоулз и, независимо, Р. Мертон осуществили доказательство. Главной научной трудностью, которую пришлось преодолеть, стало понимание того обстоятельства, что в качестве ставки дисконтирования в формуле (2) следует использовать не ожидаемую доходность базового актива – параметр μ в формуле (1), – а безрисковую ставку r. В 1997 г. Р. Мертону и М. Шоулзу (Ф. Блэка к тому времени не было в живых, но его вклад был также отмечен) была присуждена Нобелевская премия по экономике. В пресс-релизе комитет по присуждению премий отмечает: «Блэк, Мертон и Шоулз внесли важный вклад, показав, что на самом деле нет необходимости использовать какую-либо премию за риск при оценке опциона. Это не означает, что премия за риск исчезает; вместо этого она уже включена в цену акций».

В период со времени публикации и по 1987 г. модель Блэка – Шоулза – Мертона являлась общепринятым стандартом для практических расчётов. События «чёрного понедельника» 19 октября 1987 г., когда основные индексы акций без видимых причин в течение дня упали на 20 % и более, заставили участников рынка пересмотреть трактовку маловероятных исходов, что, в свою очередь, вызвало необходимость разработки новых методов и моделей оценки опционов, учитывающих непостоянство волатильности и «тяжёлые хвосты» в распределениях доходностей базовых активов. С этого времени практически для всех контрактов на рынке устойчиво наблюдается т. н. улыбка волатильности – зависимость подразумеваемой волатильности опциона от его цены исполнения, что является прямым свидетельством несоответствия реального рыночного и модельного, по Блэку – Шоулзу – Мертону, ценообразования опционов. Тем не менее модель Блэка – Шоулза – Мертона сохраняет своё значение как базовая, используется в нормативных документах. Владение ею является обязательной составляющей профессиональной квалификации для специалистов фондового рынка.