Интегральная показательная функция

Интегра́льная показа́тельная фу́нкция, специальная функция, определяемая для ${\displaystyle x\neq 0}$ равенством

${\displaystyle {\text{Ei}}\,(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,dt}$,

при этом для ${\displaystyle x>0}$ интеграл понимается в смысле главного значения, т. е.

${\displaystyle {\text{Ei}}\,(x)=\lim _{\begin{smallmatrix}\varepsilon \to 0\\\varepsilon >0\end{smallmatrix}}\left(\int \limits _{-\infty }^{-\varepsilon }{\frac {e^{t}}{t}}\,dt+\int \limits _{\varepsilon }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,dt\right)}$.

Интегральная показательная функция в конечном виде через элементарные функции не выражается.

См. также Интегральный логарифм.