Преобразования Лоренца

Преобразова́ния Ло́ренца в специальной теории относительности, система уравнений, позволяющая преобразовать координаты и время какого-либо события при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Получены в 1904 г. Х. А. Лоренцем как преобразования, по отношению к которым волновое уравнение, следующее из уравнений Максвелла, сохраняет свой вид при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Это означает, что скорость света ${\displaystyle {\text{с}}}$ не зависит от выбора инерциальной системы отсчёта и от скорости движения источника. При переходе от описания физических процессов в инерциальной системе отсчёта ${\displaystyle K}$ к описанию физических процессов в инерциальной системе отсчёта ${\displaystyle K'}$, движущейся по отношению к ${\displaystyle K}$ с постоянной скоростью ${\displaystyle V}$ в направлении оси x, преобразования Лоренца имеют вид:

${\displaystyle x'={\frac {x-Vt}{\sqrt[{}]{1-V^{2}/c^{2}}}},y'=y,z'=z,t'={\frac {t-Vx/c^{2}}{\sqrt[{}]{1-V^{2}/c^{2}}}}}$ (1)

(предполагается, что в некоторый момент времени ${\displaystyle t=t'=0}$ оси ${\displaystyle x,y,z}$ совпадают с осями ${\displaystyle x',y',z'}$).

Зная координаты ${\displaystyle x,y,z}$ и время ${\displaystyle t}$ события, произошедшего в системе ${\displaystyle K}$, и используя преобразования Лоренца (1), можно предсказать координаты ${\displaystyle x',y',z'}$ и время ${\displaystyle t'}$ того же события, наблюдаемого в системе ${\displaystyle K'}$. Наоборот, зная координаты ${\displaystyle x',y',z'}$ и время ${\displaystyle t'}$ события, произошедшего в системе ${\displaystyle K'}$, и используя следующие из уравнений (1) обратные преобразования Лоренца вида:

${\displaystyle x={\frac {x'-V't'}{\sqrt[{}]{1-V^{2}/c^{2}}}},y=y,'z=z',t={\frac {t'-V'x'/c^{2}}{\sqrt[{}]{1-V'^{2}/c^{2}}}}}$ (2)

можно предсказать координаты ${\displaystyle x,y,z}$ и время ${\displaystyle t}$ того же события, наблюдаемого в системе ${\displaystyle K}$. В соотношениях (2) ${\displaystyle V'=-V}$ есть скорость движения инерциальной системы отсчёта ${\displaystyle K}$, наблюдаемой из системы ${\displaystyle K'}$. По форме уравнения (1) и (2) идентичны.

Преобразования Лоренца существенно отличаются от преобразований классической механики, которая рассматривает малые скорости ${\displaystyle (V\ll c)}$ и в которой понятие одновременности событий в покоящейся и движущейся системах отсчёта абсолютно, т. е. не зависит от движения (см. Принцип относительности Галилея). Согласно преобразованиям Лоренца, событие, произошедшее в инерциальной системе отсчёта ${\displaystyle K'}$ в момент времени ${\displaystyle t'}$, наблюдается в инерциальной системе отсчёта ${\displaystyle K}$ в момент времени ${\displaystyle t=\gamma (t'-Vx'c^{2})}$. Этот момент зависит от координат часов ${\displaystyle x'}$ и от релятивистского фактора ${\displaystyle \gamma >1/\ {\sqrt[{}]{1-V^{2}/c^{2}}}\ (\gamma >1)}$. Отсюда следует, что события, одновременные в системе координат ${\displaystyle K'}$, не являются одновременными в системе координат ${\displaystyle K}$. Понятие одновременности становится относительным. Кроме того, если по часам в системе ${\displaystyle K'}$, занимавшим одно определённое положение, прошёл интервал времени ${\displaystyle \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\neq 0}$, то по часам, занимавшим в системе ${\displaystyle K}$ соответствующие положения ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$, в соответствии с преобразованиями Лоренца (2) пройдёт более длительный промежуток времени ${\displaystyle \Delta t=t_{2}\ -\ t_{1}=\gamma \Delta t'}$. В движущихся материальных телах процессы (в том числе и биологические) протекают медленнее. Этот вывод обратим. Нетрудно проверить, что для наблюдателя, находящегося в движущейся инерциальной системе отсчёта ${\displaystyle K'}$, процессы в инерциальной системе отсчёта ${\displaystyle K}$ протекают медленнее.

Эффект замедления времени в инерциальной системе отсчёта ${\displaystyle K'}$, движущейся относительно неподвижной инерциальной системы отсчёта ${\displaystyle K}$, проверен экспериментально на релятивистских частицах, получаемых на ускорителях. Было показано, что время жизни нестабильных заряженных частиц (например, мюонов) пропорционально релятивистскому фактору ${\displaystyle \gamma }$. При этом движущиеся частицы могли иметь как прямолинейные траектории в свободном пространстве, так и круговые траектории в магнитном поле, т. е. двигались с ускорением. Проверить обратимость процесса (поместить наблюдателя с аппаратурой в движущуюся инерциальную систему отсчёта ${\displaystyle K'}$ для измерения в ней темпа хода часов или времени жизни частиц в инерциальной системе отсчёта ${\displaystyle K}$) пока технически невозможно.

Эксперименты также показали, что в случае круговых траекторий, соответствующих неинерциальным системам отсчёта, обратимости нет. Для наблюдателя, находящегося как в неинерциальной системе координат ${\displaystyle K''}$, связанной с движущейся по окружности нестабильной частицей, так и в инерциальной системе отсчёта ${\displaystyle K}$, связанной с ускорителем, время распада частиц, покоящихся в движущейся неинерциальной системе координат ${\displaystyle K''}$, больше времени распада такой же частицы, покоящейся в инерциальной системе отсчёта ${\displaystyle K}$, в ${\displaystyle \gamma }$ раз (см. Парадокс близнецов).

В соответствии с преобразованиями Лоренца, длины покоящихся в движущейся системе ${\displaystyle K'}$ тел, измеряемые наблюдателем, находящимся в покоящейся инерциальной системе отсчёта ${\displaystyle K}$, оказываются сокращёнными в ${\displaystyle \gamma }$ раз, и для наблюдателя, находящегося в движущейся инерциальной системе отсчёта ${\displaystyle K'}$, длины всех тел в системе ${\displaystyle K}$ оказываются также сокращёнными в ${\displaystyle \gamma }$ раз. Этот результат называется лоренцевым сокращением длины.

При выводе уравнений (1) Лоренц придерживался идеи мирового эфира и считал, что принцип относительности Галилея справедлив в механике и не справедлив в электродинамике. Он полагал, что между системами ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle K'}$ существует разница: в системе ${\displaystyle K}$ оси координат имеют определённое положение в неподвижном эфире, а время ${\displaystyle t}$ есть истинное время. В другой же системе ${\displaystyle K'}$, по его мнению, использовались вспомогательные величины ${\displaystyle x',y',z',t'}$. Он не применил принцип относительности Пуанкаре и поэтому не придал выведенным им уравнениям общепринятое ныне толкование. Позднее Лоренц признал приоритет А. Пуанкаре в трактовке принципа (постулата) относительности. В 1905 г. Пуанкаре, опираясь на работу Лоренца и свой принцип относительности (1904), установил неизменность уравнений Лоренца – Максвелла относительно преобразований Лоренца и вывел релятивистские уравнения движения частиц во внешних электромагнитных полях.