Метрика Фубини – Штуди

Ме́трика Фуби́ни – Шту́ди, эрмитова метрика на комплексном проективном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$, определяемая эрмитовым скалярным произведением ${\displaystyle (u,v)}$ в пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$. Была введена почти одновременно Г. Фубини (Fubini. 1904^[1]) и Э. Штуди (Study. 1905^[2]). Метрика Фубини – Штуди задаётся формулой

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{\mid x\mid ^{4}}}\left(\mid x\mid ^{2}\mid dx\mid ^{2}-(x,d{\bar {x}})({\overline {x}},dx)\right)}$,

где ${\displaystyle \mid x\mid ^{2}=(x,x)}$; расстояние ${\displaystyle \rho ({\hat {x}},{\hat {y}})}$ между точками ${\displaystyle {\hat {x}}=\mathbb {C} x}$, ${\displaystyle {\hat {y}}=\mathbb {C} y}$, где ${\displaystyle x,y\in \mathbb {C} ^{n+1}\backslash \{0\}}$, определяется из формулы

${\displaystyle \cos \rho ({\hat {x}},{\hat {y}})={\frac {\mid (x,y)\mid }{\mid x\mid \mid y\mid }}}$.

Метрика Фубини – Штуди является кэлеровой (и даже метрикой Ходжа), соответствующая ей кэлерова форма имеет вид

${\displaystyle \omega ={\frac {i}{2\pi }}\partial {\bar {\partial }}\ln \mid z\mid ^{2}}$.

Метрика Фубини – Штуди – это единственная с точностью до пропорциональности риманова метрика на ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$, инвариантная относительно унитарной группы ${\displaystyle U(n+1)}$, сохраняющей скалярное произведение. Пространство ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$, снабжённое метрикой Фубини – Штуди, является компактным эрмитовым симметрическим пространством ранга ${\displaystyle 1}$. Оно называется также эллиптическим эрмитовым пространством.