Метрика Кэлера

Ме́трика Кэ́лера (кэлерова метрика), эрмитова метрика на комплексном многообразии, фундаментальная форма ${\displaystyle \omega }$ которой замкнута, т. е. удовлетворяет условию ${\displaystyle d\omega =0}$. Примеры кэлеровых метрик: эрмитова метрика ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|dz_{k}|^{2}}$ в пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, метрика Фубини – Штуди в комплексном проективном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$, метрика Бергмана в ограниченной области пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Кэлерова метрика на комплексном многообразии индуцирует кэлерову метрику на любом его подмногообразии. Всякая эрмитова метрика на одномерном многообразии кэлерова.

Понятие кэлеровой метрики было впервые рассмотрено Э. Кэлером (Kähler. 1933^[1]). В то же время в алгебраической геометрии систематически использовалась метрика на проективных алгебраических многообразиях, индуцированная метрикой Фубини – Штуди (Hodge. 1952^[2]). Эта метрика является метрикой Ходжа, т. е. её фундаментальная форма имеет целочисленные периоды.

Эрмитова метрика ${\displaystyle h}$ на комплексном многообразии является кэлеровой тогда и только тогда, когда она удовлетворяет любому из следующих условий: параллельный перенос вдоль любой кривой (относительно связности Леви-Чивита) является комплексным линейным отображением, т. е. перестановочен с оператором комплексной структуры; соответствующий метрике ${\displaystyle h}$ комплексный оператор Лапласа ${\displaystyle \square }$ на дифференциальных формах удовлетворяет условию ${\displaystyle {\overline {\square }}=\square }$, т. е. оператор Лапласа ${\displaystyle \Delta }$ совпадает с ${\displaystyle 2\square }$; в окрестности каждой точки существуют локальные координаты, в которых матрица метрики ${\displaystyle h}$ совпадает с единичной матрицей с точностью до бесконечно малых 2-го порядка (Вейль. 1961^[3]; Вещественная гомотопическая теория ... 1977^[4]).