Метод суммирования Линделёфа

Ме́тод сумми́рования Линделёфа, полунепрерывный метод суммирования числовых и функциональных рядов, определённый последовательностью функций

${\displaystyle g_{0}(\delta )=1,\quad g_{k}(\delta )=\exp(-\delta k\ln k),\quad \delta >0,\quad k=1,2,\ldots \;}$.

Ряд

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }u_{k}}$

суммируем методом суммирования Линделёфа к сумме ${\displaystyle s}$, если

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\left[u_{0}+\sum _{k=0}^{\infty }\exp(-\delta k\ln k)u_{k}\right]=s}$

и ряд под знаком предела сходится. Метод был введён Э. Линделёфом (Lindelöf. 1903) для суммирования степенных рядов.

Метод суммирования Линделёфа является регулярным и применяется как аппарат для аналитического продолжения функций. Если ${\displaystyle f(z)}$ – главная ветвь аналитической функции, регулярной в нуле и представимой рядом

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$

для малых ${\displaystyle z}$, то этот ряд суммируем методом суммирования Линделёфа к ${\displaystyle f(z)}$ во всей звезде функции ${\displaystyle f(z)}$, причём равномерно во всякой замкнутой ограниченной области, содержащейся внутри звезды.

Из методов суммирования, определённых преобразованием последовательности в последовательность полунепрерывными матрицами ${\displaystyle a_{k}(\omega )}$ типа

${\displaystyle a_{k}(\omega )={\frac {c_{k+1}\omega ^{k+1}}{E(\omega )}}}$,

где

${\displaystyle E(\omega )=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}\omega ^{k}}$

– целая функция, Э. Линделёфом рассматривался случай, когда

${\displaystyle E(\omega )=\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {\omega }{\ln(k+\beta )}}\right]^{k},\quad \beta >1}$.

Матрицу ${\displaystyle \Vert a_{k}(\omega )\Vert }$ с такой целой функцией называют матрицей Линделёфа.