Теорема Абеля о непрерывности суммы степенного ряда

Теоре́ма А́беля о непреры́вности су́ммы степенно́го ря́да, если степенной ряд

${\displaystyle S(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-b)^{k}}$ (*)

сходится в точке ${\displaystyle z_{0}}$ границы круга сходимости, то он представляет собой непрерывную функцию в любом замкнутом треугольнике ${\displaystyle T}$ с вершинами ${\displaystyle z_{0}}$, ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$, где ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$ лежат внутри круга сходимости. В частности,

${\displaystyle \lim \limits _{z\rightarrow z_{0},\ z\in T}S(z)=S(z_{0})}$.

Этот предельный переход всегда можно осуществить по радиусу: на всём радиусе круга сходимости, соединяющем точки ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle z_{0}}$, ряд (*) будет сходиться равномерно. Эта теорема используется, в частности, для вычисления суммы степенного ряда, сходящегося в точках на границе круга сходимости.