Метод Ньютона

Ме́тод Нью́тона (метод касательных), метод приближённого решения уравнения

${\displaystyle f(x)=0,}$ (1)

где ${\displaystyle f}$ – дифференцируемая функция. Последовательные приближения метода Ньютона вычисляются по формуле

${\displaystyle x^{k+1}=x^{(k)}-[f'(x^{(k)})]^{-1}f(x^{(k)}),\quad k=0,1,2,\ldots ,}$ (2)

т. е. каждое следующее приближение ${\displaystyle x^{(k+1)}}$ является точкой пересечения касательной к ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle (x(k),f(x(k))}$, связанной с предыдущим приближением, и оси абсцисс.

Если функция ${\displaystyle f}$ дважды непрерывно дифференцируема, ${\displaystyle x^{*}}$ – простой корень уравнения ${\displaystyle (1)}$ и начальное приближение ${\displaystyle x^{(0)}}$ лежит достаточно близко к ${\displaystyle x^{*}}$, то метод Ньютона обладает квадратичной сходимостью, т. е.

${\displaystyle \mid x^{(k+1)}-x^{*}\mid \leqslant c\mid x^{(k)}-x^{*}\mid ^{2}}$,

где ${\displaystyle {\text{с}}}$ – постоянная, зависящая только от функции ${\displaystyle f}$ и начального приближения ${\displaystyle x^{(0)}}$.

Часто вместо ${\displaystyle (2)}$ для решения уравнения ${\displaystyle (1)}$ применяется т. н. модифицированный метод Ньютона:

${\displaystyle x^{(k+1)}=x^{(k)}-[f(x^{(0)})]^{-1}f(x^{(k)}).}$ (3)

При тех же предположениях, при которых метод Ньютона имеет квадратичную сходимость, метод ${\displaystyle (3)}$ имеет линейную сходимость, т. е. сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим единицы.

Применительно к решению нелинейного операторного уравнения ${\displaystyle A(u)=0}$ с оператором A: ${\displaystyle {{\ce {B_1 -> B_2}}}}$, где ${\displaystyle B_{1},B_{2}}$ – некоторые банаховы пространства, обобщение ${\displaystyle (2)}$ называется методом Ньютона – Канторовича. Формулы этого метода имеют вид

${\displaystyle u^{(k+1)}=u(^{k)}-[A\prime (u^{(k)})]^{-1}A(u^{(k)}),\quad k=0,1,2,\ldots }$,

где ${\displaystyle A'(u(^{k)})}$ – производная Фреше оператора ${\displaystyle A}$ в точке ${\displaystyle u^{(k)}}$, являющаяся обратимым оператором, действующим из ${\displaystyle B_{1}}$ в ${\displaystyle B_{2}}$. При некоторых предположениях метод Ньютона – Канторовича обладает квадратичной сходимостью, а соответствующий модифицированный метод – линейной сходимостью.

Метод разработан И. Ньютоном (1669). Один из методов безусловной минимизации также называется методом Ньютона.