Матрицы Паули

Ма́трицы Па́ули, двухрядные комплексные эрмитовы матрицы

${\displaystyle \sigma _{1}=\left({\begin{array}{c}0&1\\1&0\end{array}}\right),\sigma _{2}=\left({\begin{array}{c}0&-i\\i&0\end{array}}\right),\sigma _{3}=\left({\begin{array}{c}1&0\\0&-1\end{array}}\right)}$.

Введены В. Паули (1927) для описания собственного механического момента (спина) ${\displaystyle {\mathbf {s} }={\frac {1}{2}}\hbar {\mathbf {\sigma } }}$ и магнитного момента ${\displaystyle {\mathbf {\mu } }=(e\hbar /2mc){\mathbf {\sigma } }}$ электрона (см. в статье Уравнение Паули).
Благодаря перестановочным соотношениям

${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{k}-\sigma _{k}\sigma _{i}=2i\varepsilon _{ikl}\sigma _{l}}$

(где ${\displaystyle \varepsilon _{ikl}}$ – символ Леви-Чивиты) компоненты спина ${\displaystyle s}$ удовлетворяют перестановочным соотношениям для углового момента. При повороте на угол ${\displaystyle \varphi }$ вокруг оси с направляющим единичным вектором ${\displaystyle {\mathbf {n} }(n_{1},n_{2},n_{3})}$ задающий волновую функцию электрона двухкомпонентный спинор ${\displaystyle \ \psi =}$ ${\displaystyle \left({\begin{array}{c}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{array}}\right)}$ преобразуется по формуле

${\displaystyle \psi \longrightarrow \psi '=exp(-{\frac {i\varphi }{2}}n\sigma )\psi }$,

реализуя простейшее спинорное представление группы вращений ${\displaystyle SO(3)}$.В качестве базиса в пространстве этого представления можно взять, например, собственные векторы матрицы ${\displaystyle \sigma _{3}}$,

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)}$ и ${\displaystyle \left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)}$ с собственными значениями 1 и –1 соответственно. Матрицы Паули используются при описании любой квантовой системы с дискретной переменной, принимающей два значения. Помимо спина классическим примером является система протон-нейтрон; её дискретную переменную называют 3-й компонентой изотопического спина (обычно матрицы Паули обозначаются в этом случае символами ${\displaystyle \tau _{i},i=1,2}$). Поскольку ${\displaystyle SO(3)}$ локально изоморфна группе унитарных унимодулярных комплексных матриц [точнее, ${\displaystyle SO(3)\sim \;SO(2)/Z_{2}}$], в терминах матриц Паули описываются калибровочные поля с унитарной симметрией ${\displaystyle SU(2)}$. Матрицы Паули используются также в многочисленных моделях квантовых систем на решётках (различные варианты модели Изинга и т. д.)