Уравнение Паули

Уравне́ние Па́ули, уравнение нерелятивистской квантовой механики, описывающее движение заряженной частицы со спином ¹ /₂ (например, электрона) во внешнем электромагнитном поле. Предложено В. Паули в 1927 г.

Является обобщением уравнения Шрёдингера, учитывающим наличие у частицы собственного механического момента – спина. Частица со спином ¹ /₂ может находиться в двух различных квантовых состояниях с проекциями спина +¹ /₂ и –¹ /₂ на произвольно выбранное направление, принимаемое обычно за ось ${\displaystyle z}$. В соответствии с этим волновая функция частицы ${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}},t)}$ (${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ – координата частицы, ${\displaystyle t}$ – время) является двухкомпонентной, что принято записывать в виде матрицы-столбца:

${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}},t)={\begin{pmatrix}\psi _{1}({\boldsymbol {r}},t)\\\psi _{2}({\boldsymbol {r}},t)\end{pmatrix}}}$.

Такая функция называется спинором. Проекция спина ${\displaystyle s_{z}=+1/2}$ соответствует ${\displaystyle \psi =\psi _{1},\psi _{2}=0}$, проекция спина ${\displaystyle s_{z}=-1/2}$ соответствует ${\displaystyle \psi =\psi _{2},\psi _{1}=0}$. Во внешнем магнитном поле компоненты волновой функции «перемешиваются», что соответствует изменению направления спина.

В частном случае постоянного и однородного магнитного поля напряжённостью ${\displaystyle H}$ (направление которого можно принять за ось ${\displaystyle z}$) уравнение Паули можно представить в виде системы уравнений для функций ${\displaystyle \psi _{1}}$ и ${\displaystyle \psi _{2}}$:

${\displaystyle \Gamma _{0}\psi _{1}-(e\hbar /2mc)H\psi _{1}={\mathcal {E}}\psi _{1}\,{\text{для}}\,s_{z}=+1/2}$,

${\displaystyle \Gamma _{0}\psi _{2}+({\text{е}}\hbar /2mc)H\psi _{2}={\mathcal {E}}\psi _{2}\,{\text{для}}\,s_{z}=-1/2.}$ (*)

Здесь ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ совпадает с гамильтонианом, входящим в уравнение Шрёдингера для заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле, ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle m}$ – электрический заряд и масса частицы, ${\displaystyle c}$ – скорость света, ${\displaystyle \hbar }$ – постоянная Планка, ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ – возможные (собственные) значения энергии. Таким образом, энергия электрона зависит от ориентации спина по отношению к магнитному полю. Это можно интерпретировать как наличие у электрона собственного (спинового) магнитного момента ${\displaystyle \mu ={\text{е}}\hbar /2mc}$. Вторые слагаемые в левой части уравнений (*) соответствуют потенциальной энергии взаимодействия собственного магнитного момента ${\displaystyle \mu }$ с магнитным полем ${\displaystyle H}$, равной для слабых полей (как и в классической физике) ${\displaystyle \mu _{H}H}$, где ${\displaystyle \mu _{H}}$ – проекция магнитного момента на направление поля ${\displaystyle {\boldsymbol {H}}}$. Так как спин электрона равен ¹ /₂ (в единицах ${\displaystyle \hbar }$), то отношение спинового магнитного момента к механическому (гиромагнитное отношение) равно ${\displaystyle {\text{е}}/mc}$, т. е. в 2 раза больше гиромагнитного отношения для орбитального момента.

Уравнение Паули естественным образом вытекает из релятивистского уравнения Дирака, если ограничиться первым приближением по ${\displaystyle v/c}$ (${\displaystyle v}$ – скорость электрона, ${\displaystyle v\ll c}$).