Предбаза топологии

Предба́за тополо́гии, семейство ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ открытых подмножеств топологического пространства ${\displaystyle X}$, такое, что всевозможные конечные пересечения элементов семейства ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ образуют базу топологии пространства ${\displaystyle X}$.

Если ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ – предбаза топологии пространства ${\displaystyle X}$, то семейство ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ всех открытых множеств пространства ${\displaystyle X}$ является топологией, порождённой семейством ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, т. е. наименьшей (слабейшей) топологией на множестве ${\displaystyle X}$, содержащей семейство ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$. Часто в определении предбазы ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ к конечным пересечениям относят и пересечение пустого семейства элементов из ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, принимая соглашение о том, что оно совпадает со всем пространством ${\displaystyle X}$. При таком соглашении верно и обратное: если топология ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ открытых множеств пространства ${\displaystyle X}$ порождена некоторым семейством ${\displaystyle {\mathcal {P}}\subset {\mathcal {O}}}$, то ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ является предбазой этой топологии.