Упорядоченное множество

Упоря́доченное мно́жество, множество, на котором задано отношение порядка (линейного или частичного, строгого или нестрогого). При этом отношением порядка на множестве ${\displaystyle A}$называется бинарное отношение (соответствие), обычно обозначаемое символом ${\displaystyle \leqslant }$ и обладающее следующими свойствами:

1) ${\displaystyle a\leqslant a}$ (рефлексивность);

2) если ${\displaystyle a\leqslant b}$ и ${\displaystyle b\leqslant c}$, то ${\displaystyle a\leqslant c}$ (транзитивность);

3) если ${\displaystyle a\leqslant b}$ и ${\displaystyle b\leqslant a}$, то ${\displaystyle a=b}$ (антисимметричность).

Если ${\displaystyle \leqslant }$является отношением порядка, то отношение ${\displaystyle <}$, определяемое условием ${\displaystyle a\leqslant b}$ и ${\displaystyle a\neq b}$, называется строгим порядком. Запись ${\displaystyle a\leqslant b}$ обычно читается как «${\displaystyle a}$ меньше или равно ${\displaystyle b}$» или «${\displaystyle b}$ больше или равно ${\displaystyle a}$», а ${\displaystyle a<b}$ – как «${\displaystyle a}$ меньше ${\displaystyle b}$» или «${\displaystyle b}$ больше ${\displaystyle a}$» (иногда говорят также «${\displaystyle b}$ следует за ${\displaystyle a}$» или «${\displaystyle a}$ предшествует ${\displaystyle b}$»).

Порядок называется линейным, если для любых ${\displaystyle a,b\in A}$ либо ${\displaystyle a\leqslant b}$, либо ${\displaystyle b\leqslant a}$. В этом случае множество называется линейно упорядоченным или цепью. Пример линейно упорядоченного множества даёт действительная прямая с естественным отношением порядка на ней.

Если же в ${\displaystyle A}$ допускаются и несравнимые между собой элементы, то порядок называется частичным, а множество – частично упорядоченным. Примерами частично упорядоченного множества являются множество всех действительных функций на отрезке, где ${\displaystyle f\leqslant g}$ означает, что ${\displaystyle f(x)\leqslant g(x)}$ для всех точек этого отрезка, и множество всех подмножеств данного множества, где ${\displaystyle A\leqslant B}$ означает, что ${\displaystyle A}$ содержится в ${\displaystyle B}$.

Определение частично упорядоченного множества впервые явно сформулировал Ф. Хаусдорф (1914), хотя входящие в определение порядка аксиомы рассматривались ещё Г. В. Лейбницем (1690).