Криволинейный интеграл

Криволине́йный интегра́л, интеграл вдоль кривой (на плоскости или в пространстве). Различают криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода (типа). Криволинейный интеграл 1-го рода возникает, например, в задаче о вычислении массы материальной кривой переменной плотности, он обозначается

${\displaystyle \int \limits _{C}f(M)\,ds}$,

где ${\displaystyle C}$ – заданная кривая, ${\displaystyle ds}$ – дифференциал её дуги, а ${\displaystyle f(M)}$ – функция точки ${\displaystyle M}$ на кривой (плотность). Этот интеграл представляет собой предел соответствующих интегральных сумм. В случае плоской кривой ${\displaystyle C}$, заданной уравнением ${\displaystyle y=y(x)}$, ${\displaystyle a\leqslant x\leqslant b}$, криволинейный интеграл 1-го рода сводится к интегралу по отрезку

${\displaystyle \int \limits _{C}f(M)ds=\int \limits _{a}^{b}f(x,y(x)){\sqrt {1+(y'(x))^{2}dx}}}$.

Криволинейный интеграл 2-го рода возникает, например, в задаче о работе силового поля. В случае плоской кривой он имеет вид

${\displaystyle \int \limits _{C}P(x,y)dx+Q(x,y)\,dy}$,

где ${\displaystyle P(x,y)}$ и ${\displaystyle Q(x,y)}$ – функции (компоненты поля), заданные на ${\displaystyle C}$. Он также является пределом соответствующих интегральных сумм. Криволинейный интеграл 2-го рода по замкнутой кривой часто обозначают

${\displaystyle \oint \limits _{C}Pdx=Qdy}$.

Криволинейный интеграл 2-го рода сводится к интегралу по отрезку по формуле

${\displaystyle \oint \limits _{C}P(x,y)dx+Q(x,y)\,dy=\int \limits _{\alpha }^{\beta }(P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t))\,dt}$,

где ${\displaystyle x=x(t)}$, ${\displaystyle y=y(t)}$, ${\displaystyle \alpha \leqslant t\leqslant \beta }$, – уравнение кривой ${\displaystyle C}$ в параметрической форме, и к криволинейному интегралу 1-го рода по формуле

${\displaystyle \int \limits _{C}P(x,y)dx+Q(x,y)\,dy=\int \limits _{C}(P\cos \varphi +Q\sin \varphi )\,ds}$,

где ${\displaystyle \phi }$ – угол между осью ${\displaystyle OX}$ и касательной к кривой, направленной в сторону возрастания длины дуги.

О связи криволинейного интеграла 2-го рода с двойными и поверхностными интегралами см. в статьях Формулы Грина и Формула Стокса.

Криволинейные интегралы впервые встречаются у А. Клеро (1743), в общем виде их ввёл О. Коши (1825).