Формулы Грина

Фо́рмулы Гри́на, формулы интегрального исчисления функций многих переменных, связывающие интегралы по области и по границе этой области. Простейшая формула Грина выражает двойной интеграл по области ${\displaystyle G}$ через криволинейный интеграл по границе ${\displaystyle C}$ области ${\displaystyle G}$ и имеет вид

${\displaystyle \iint _{G}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\int _{C}P\,dx+Q\,dy}$,

где функции ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ интегрируемы вместе со своими производными ${\displaystyle {\partial Q}/{\partial x}}$, ${\displaystyle \partial P/\partial y}$, ориентация на ${\displaystyle C}$ задаётся обходом против часовой стрелки. Эта формула была известна ещё Л. Эйлеру (1771). Две следующие формулы Грина впервые опубликованы Дж. Грином в 1828 г. в связи с исследованиями по теории потенциала: при достаточно широких условиях на функции ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \iiint _{G}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz=}$
${\displaystyle =\iint _{S}v{\frac {\partial u}{\partial n}}\,d\sigma -\iiint _{G}v\Delta u\,dx\,dy\,dz}$

(т. н. первая или предварительная формула Грина) и

${\displaystyle \iiint _{G}(u\Delta v-v\Delta u)\,dx\,dy\,dz=\iint _{S}\left(u{\frac {\partial v}{\partial n}}-v{\frac {\partial u}{\partial n}}\right)\,d\sigma }$

(т. н. вторая формула Грина). Здесь ${\displaystyle G}$ – область трёхмерного пространства, поверхность ${\displaystyle S}$ – граница этой области,

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$

– оператор Лапласа, ${\displaystyle \partial u/\partial n}$, ${\displaystyle \partial v/\partial n}$ – производные по направлению внешней нормали к ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle d\sigma }$ – элемент поверхности ${\displaystyle S}$, интеграл берётся по внешней стороне ${\displaystyle S}$. См. также формула Остроградского, формула Стокса.