Конформная связность

Конфо́рмная свя́зность, дифференциально-геометрическая структура на гладком многообразии ${\displaystyle M}$, специальный вид связности на многообразии, когда приклеенное к ${\displaystyle M}$ гладкое расслоенное пространство ${\displaystyle E}$ имеет своим типовым слоем конформное пространство ${\displaystyle C_{n}}$ размерности ${\displaystyle n=\operatorname {dim} M}$. Структурой такого пространства ${\displaystyle E}$ к каждой точке ${\displaystyle x\in M}$ присоединяется экземпляр конформного пространства ${\displaystyle \left(C_{n}\right)_{x}}$, который отождествляется (с точностью до конформных преобразований, сохраняющих ${\displaystyle x}$ и все направления в ней) с касательным пространством ${\displaystyle T_{x}(M)}$, дополненным одной бесконечно удалённой точкой. Конформная связность, как связность в таком ${\displaystyle E}$, предусматривает сопоставление каждой гладкой кривой ${\displaystyle {\mathcal {L}}\subset M}$ с началом ${\displaystyle x_{0}}$ и каждой её точке ${\displaystyle x_{t}}$ конформное отображение ${\displaystyle \gamma _{t}:\left(C_{n}\right)_{x_{t}}\rightarrow \left(C_{n}\right)_{x_{0}}}$ так, что удовлетворяется некоторое условие (см. ниже условие на ${\displaystyle \gamma _{t}}$). Пусть пространство ${\displaystyle C_{n}}$ отнесено к реперу, который состоит из двух точек (вершин) и из ${\displaystyle n}$ проходящих через них попарно ортогональных гиперсфер. Такой репер интерпретируется в псевдоевклидовом пространстве ${\displaystyle {}^{1}R_{n+2}}$ как класс эквивалентных базисов, удовлетворяющих условиям

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}\left(e_{0},e_{n+1}\right)=\left(e_{1},e_{1}\right)=\ldots =\left(e_{n},e_{n}\right),\\\left(e_{0},e_{0}\right)=\left(e_{n+1},e_{n+1}\right)=\left(e_{i},e_{j}\right)=0,\\i,j=1,\ldots ,n,\quad i\neq j,\end{matrix}}\right\}}$ (1)

относительно эквивалентности

${\displaystyle \left\{e_{\alpha }\right\}\sim \left\{\lambda e_{\alpha }\right\},\quad \alpha =0,1,\ldots ,n+1}$.

Пусть ${\displaystyle M}$ покрыто координатными областями и в каждой области фиксировано гладкое поле репера в ${\displaystyle \left(C_{n}\right)_{x}}$, у которого вершина, определяемая вектором ${\displaystyle e_{0}}$, совпадает c ${\displaystyle x}$. Условие на ${\displaystyle \gamma _{t}}$ следующее: при ${\displaystyle t\rightarrow 0}$, когда ${\displaystyle x_{t}}$ перемещается по ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ до ${\displaystyle x_{0},\gamma _{t}}$ должно стремиться к тождественному отображению, причём главная часть его отклонения от последнего должна определяться относительно поля репера в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$ матрицей вида

${\displaystyle \omega =\left\|\omega _{\alpha }^{\beta }\right\|=\left\|{\begin{matrix}\omega _{0}^{0}&\omega _{0}^{j}&0\\\omega _{i}^{0}&\omega _{i}^{j}&-\omega _{0}^{i}\\0&-\omega _{j}^{0}&-\omega _{0}^{0}\end{matrix}}\right\|}$, (2)

${\displaystyle \omega _{i}^{j}+\omega _{j}^{i}=0,\quad \alpha ,\beta =0,\ldots ,n+1;\quad i,j=1,\ldots ,n}$,

из ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(n+1)(n+2)}$ линейных дифференциальных форм ${\displaystyle \omega _{0}^{0},\omega _{0}^{i},\omega _{i}^{j}(i<j),\omega _{i}^{0}}$ типа

${\displaystyle \omega _{\alpha }^{\beta }=\Gamma _{\alpha i}^{\beta }dx^{i},\quad \operatorname {det} \left\|\Gamma _{0i}^{j}\right\|\neq 0}$ (3).

Другими словами, образ репера в точке ${\displaystyle x_{t}}$ при ${\displaystyle \gamma _{t}}$ должен быть определён векторами

${\displaystyle e_{\beta }\left[\delta _{\alpha }^{\beta }+\omega _{\alpha }^{\beta }(X)t+\varepsilon _{\alpha }^{\beta }(t)\right]}$,

где ${\displaystyle X}$ – касательный вектор к ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {\varepsilon _{\alpha }^{\beta }(t)}{t}}=0}$.

При преобразовании репера поля в произвольной точке ${\displaystyle x}$ согласно формулам ${\displaystyle e_{\alpha ^{\prime }}=A_{\alpha ^{\prime }}^{\beta }e_{\beta }}$, ${\displaystyle e_{\beta }=A_{\beta }^{\alpha ^{\prime }}e_{\alpha ^{\prime }}}$, coхраняющим условия ${\displaystyle (1)}$, т. е. при переходе к произвольному элементу главного расслоенного пространства ${\displaystyle \Pi }$ реперов в пространствах ${\displaystyle \left(C_{n}\right)_{x}}$, формы ${\displaystyle (3)}$ заменяются следующими ${\displaystyle 1}$-формами на ${\displaystyle \Pi }$:

${\displaystyle \omega _{\alpha ^{\prime }}^{\beta ^{\prime }}=A_{\gamma }^{\beta ^{\prime }}dA_{\alpha ^{\prime }}^{\gamma }+A_{\alpha ^{\prime }}^{\gamma }A_{\delta }^{\beta ^{\prime }}\omega _{\gamma }^{\delta }}$,

образующими также матрицу ${\displaystyle \omega ^{\prime }}$ вида ${\displaystyle (2)}$. ${\displaystyle 2}$-формы

${\displaystyle \Omega _{\alpha ^{\prime }}^{\beta ^{\prime }}=d\omega _{\alpha ^{\prime }}^{\beta ^{\prime }}+\omega _{\gamma ^{\prime }}^{\beta ^{\prime }}\wedge \omega _{\alpha ^{\prime }}^{\gamma ^{\prime }}}$

образуют матрицу ${\displaystyle \Omega ^{\prime }=\left\|\Omega _{\alpha ^{\prime }}^{\beta ^{\prime }}\right\|}$ такой же структуры, как ${\displaystyle (2)}$, и выражаются по формулам ${\displaystyle \Omega _{\alpha ^{\prime }}^{\beta ^{\prime }}=A_{\alpha ^{\prime }}^{\gamma }A_{\delta }^{\beta ^{\prime }}\Omega _{\gamma }^{\delta }}$ через формы ${\displaystyle \Omega _{\alpha }^{\beta }=d\omega _{\alpha }^{\beta }+\omega _{\gamma }^{\beta }\wedge \omega _{\alpha }^{\gamma }}$, являющиеся в силу ${\displaystyle (3)}$ линейными комбинациями от ${\displaystyle dx^{k}\wedge dx^{l}}$, а следовательно и от ${\displaystyle \omega _{0}^{k}\wedge \omega _{0}^{l}}$. Для элементов матрицы ${\displaystyle \omega ^{\prime }}$ имеют место структурные уравнения конформной связности (где для простоты опущены штрихи):

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}nd\omega _{0}^{0}+\omega _{i}^{0}\wedge \omega _{0}^{i}=\Omega _{0}^{0},\\nd\omega _{0}^{i}+\left(\omega _{j}^{i}-\delta _{j}^{i}\omega _{0}^{0}\right)\wedge \omega _{0}^{j}=\Omega _{0}^{i},\\nd\omega _{i}^{j}+\omega _{k}^{j}\wedge \omega _{i}^{k}+\omega _{0}^{j}\wedge \omega _{i}^{0}+\omega _{j}^{0}\wedge \omega _{0}^{i}=\Omega _{i}^{j},\quad i<j,\\nd\omega _{i}^{0}+\omega _{j}^{0}\wedge \left(\omega _{i}^{j}-\delta _{i}^{j}\omega _{0}^{0}\right)=\Omega _{i}^{0}.n\end{matrix}}\right\}}$ (4)

Здесь правые части полубазовы, т. е. являются линейными комбинациями только от ${\displaystyle \omega _{0}^{k}\wedge \omega _{0}^{l}}$; они составляют систему форм кручения-кривизны конформной связности и преобразуются по законам

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{0^{\prime }}^{0^{\prime }}=A_{0^{\prime }}^{0}\left(A_{0}^{0^{\prime }}\Omega _{0}^{0}+A_{i}^{0^{\prime }}\Omega _{0}^{i}\right),\\\Omega _{0^{\prime }}^{i^{\prime }}=A_{0^{\prime }}^{0}A_{j}^{i^{\prime }}\Omega _{0}^{j},\\\Omega _{i}^{j^{\prime }}=A_{i^{\prime }}^{k}A_{l}^{j^{\prime }}\Omega _{k}^{l}+\Omega _{0}^{k}\left(A_{i^{\prime }}^{0}A_{k}^{j^{\prime }}-A_{i^{\prime }}^{k}A_{n+1}^{j^{\prime }}\right).\end{aligned}}}$

Равенства ${\displaystyle \Omega _{0}^{i}=0}$ имеют инвариантный смысл и выделяют конформную связность нулевого кручения. Пусть

${\displaystyle \Omega _{i}^{j}={\frac {1}{2}}C_{ikl}^{j}\omega _{0}^{k}\wedge \omega _{0}^{l};}$

тогда при ${\displaystyle \Omega _{0}^{i}\equiv 0}$:

${\displaystyle C_{i^{\prime }k^{\prime }l^{\prime }}^{j^{\prime }}=\left(A_{0}^{0^{\prime }}\right)^{2}A_{i^{\prime }}^{p}A_{q}^{j^{\prime }}A_{k^{\prime }}^{r}A_{l^{\prime }}^{\mathrm {s} }C_{prs}^{q}}$

и для ${\displaystyle C_{ik}=C_{ikj}^{j}}$:

${\displaystyle C_{i^{\prime }k^{\prime }}=\left(A_{0}^{0^{\prime }}\right)^{2}A_{i^{\prime }}^{p}A_{k^{\prime }}^{r}C_{pr}}$.

Инвариантные тождества ${\displaystyle \Omega _{0}^{i}\equiv \Omega _{0}^{0}\equiv 0,C_{ik}=0}$ выделяет специальный класс т. н. (по Картану) нормальных конформных связностей.

Формы ${\displaystyle (3)}$, образующие матрицу вида ${\displaystyle (2)}$, определяют конформные связности на ${\displaystyle M}$ однозначно: образ репера в точке ${\displaystyle x_{t}}$ при ${\displaystyle \gamma _{t}:\left(C_{n}\right)_{x_{t}}\rightarrow \left(C_{n}\right)_{x_{0}}}$ определяется решением ${\displaystyle \left\{e_{\alpha }(t)\right\}}$ системы

${\displaystyle du_{\alpha }=\left(\omega _{\alpha }^{\beta }\right)_{x(t)}({\dot {x}}(t))u_{\beta }}$

при начальных условиях ${\displaystyle u_{\alpha }(0)=e_{\alpha }}$, где ${\displaystyle x^{i}=x^{i}(t)}$ – уравнения кривой ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ в некоторой координатной окрестности её точки ${\displaystyle x_{0}}$ с координатами ${\displaystyle x^{i}(0)}$. Любые ${\displaystyle 1}$-формы ${\displaystyle \omega _{0}^{0},\omega _{0}^{i},\omega _{i}^{j}(i<j),\omega _{i}^{0}}$ на ${\displaystyle \Pi }$, удовлетворяющие уравнениям ${\displaystyle (4)}$ с правыми частями, выражающимися через ${\displaystyle \omega _{0}^{k}\wedge \omega _{0}^{e}}$, где ${\displaystyle \omega _{0}^{i}\,(i=1,\ldots ,n)}$, – линейно независимы, определяют в указанном смысле некоторую конформную связность на ${\displaystyle M}$.

Конформные связности дают удобный аппарат для исследования конформных отображений римановых пространств. Конформная связность сводится к связности Леви-Чивиты некоторого риманова пространства, если на ${\displaystyle M}$ существуют локальные поля реперов, относительно которых

${\displaystyle \omega _{i}^{0}=P_{ij}\omega _{0}^{j},\quad \omega _{0}^{0}=Q_{i}\omega _{0}^{i},\quad \Omega _{0}^{i}=Q_{j}\omega _{0}^{i}\wedge \omega _{0}^{j}}$.

Для тензора кривизны ${\displaystyle R_{ikl}^{j}}$ этой связности, определяемого равенством

${\displaystyle d\omega _{i}^{j}+\omega _{k}^{j}\wedge \omega _{i}^{k}={\frac {1}{2}}R_{ikl}^{j}\omega _{0}^{k}\wedge \omega _{0}^{l}}$,

имеет место

${\displaystyle R_{ikl}^{j}=\delta _{l}^{j}P_{ik}-\delta _{k}^{jl}P_{il}-\delta _{l}^{i}P_{jk}+\delta _{k}^{i}P_{jl}+C_{ikl}^{j}}$.

Обратно, для каждой связности Леви-Чивиты риманова пространства существует единственная нормальная конформная связность, из которой она получается указанным способом. При этом ${\displaystyle Q_{j}=0}$ и ${\displaystyle P_{ij}}$ выражается через тензор Риччи ${\displaystyle R_{ik}=R_{ikj}^{j}}$ и скалярную кривизну ${\displaystyle R=\sum R_{ii}}$ формулой

${\displaystyle P_{ij}={\frac {1}{n-2}}R_{ij}-\delta _{j}^{i}{\frac {R}{2(n-1)(n-2)}}}$.

Соответствующий тензор ${\displaystyle C_{ikl}^{j}}$ называется тензором конформной кривизны связности Леви-Чивиты. Два римановых пространства конформно эквивалентны, если их связности Леви-Чивиты имеют совпадающие нормальные конформные связности. В частности, риманово пространство при ${\displaystyle n>3}$ конформно евклидово тогда и только тогда, когда для него ${\displaystyle C_{ikl}^{j}=0}$.