Тензор Риччи

Те́нзор Ри́ччи, дважды ковариантный тензор, получаемый из тензора Римана $R_{jkl}^{l}$ путём свёртывания верхнего индекса с нижним:

R_{ki}=R_{mk,i}^{m}

.

В римановом пространстве $V_{n}$ тензор Риччи является симметрическим: $R_{ki}=R_{ik}$ . В результате свёртывания тензора Риччи с контравариантным метрическим тензором $g^{ij}$ пространства $V_{n}$ получается скалярная величина $R=g^{ij}R_{ij}$ , называемая инвариантом кривизны, или скалярной кривизной $V_{n}$ . Компоненты тензора Риччи выражаются через основной метрический тензор $g_{ij}$ пространства $V_{n}$ :

R_{ij}={\frac {\partial ^{2}\ln {\sqrt {g}}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\Gamma _{ij}^{k}+\Gamma _{ik}^{m}\Gamma _{mj}^{k}-\Gamma _{ij}^{m}{\frac {\partial \ln {\sqrt {g}}}{\partial x^{m}}}

,

где $g=\operatorname {det} g_{ij}$ , $\Gamma _{ij}^{k}$ – символы Кристоффеля $2$ -го рода, вычисленные относительно тензора $g_{ij}$ .

Тензор введён Г. Риччи-Курбастро (Riссi Curbastro. 1904^[1]).

↑ Riссi Curbastro G. Direzioni e invarianti principali in una varietà qualunque / G. Riссi Curbastro // Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti. – 1904. – T. 63, № 2. – P. 1233–1239.

Riссi Curbastro G. Direzioni e invarianti principali in una varietà qualunque // Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti. – 1904. – T. 63, № 2. – P. 1233–1239.
Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия / пер. с англ. М. Г. Шестопал. – Москва : Государственное издательство иностранной литературы, 1948.

[1] Riссi Curbastro G. Direzioni e invarianti principali in una varietà qualunque / G. Riссi Curbastro // Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti. – 1904. – T. 63, № 2. – P. 1233–1239.

[1]

Тензор Риччи

Примечания

Литература