Теорема Гильберта о базисе

Теоре́ма Ги́льберта о ба́зисе, если ${\displaystyle A}$ – коммутативное нётерово кольцо и ${\displaystyle A\left[X_{1},\ldots ,X_{n}\right]}$ – кольцо многочленов от ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ с коэффициентами в ${\displaystyle A}$, то и ${\displaystyle A\left[X_{1},\ldots ,X_{n}\right]}$ – нётерово кольцо. В частности, в кольце многочленов от конечного числа переменных над полем или над кольцом целых чисел любой идеал порождается конечным числом элементов (имеет конечный базис). Именно в такой форме теорема была доказана Д. Гильбертом (Hilbert. 1890^[1]) и играла вспомогательную роль в доказательстве основной теоремы Гильберта об инвариантах. Впоследствии теорема Гильберта о базисе получила широкое распространение в коммутативной алгебре.