Квантовый канал

Квантовым каналом называется (Холево. 2010^[1]) линейное унитальное вполне положительное отображение ${\displaystyle \Phi ,}$ действующее из алгебры всех ограниченных операторов ${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{A})}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A},}$ описывающем квантовую систему ${\displaystyle A,}$ в алгебру всех ограниченных операторов ${\displaystyle B({\mathcal {H}}_{B})}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{B},}$ описывающем квантовую систему ${\displaystyle B}$.

Иногда говорят, что ${\displaystyle \Phi }$ является квантовым каналом в представлении Гейзенберга. В этом случае предсопряжённое линейное сохраняющее след отображение ${\displaystyle \Phi _{*}}$ банахова пространства ядерных операторов ${\displaystyle {\mathfrak {T}}({\mathcal {H}}_{B})}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{B}}$ в банахово пространство ядерных операторов ${\displaystyle {\mathfrak {T}}({\mathcal {H}}_{A})}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A},}$ определённое формулой

${\displaystyle \mathrm {Tr} (\Phi _{*}(\rho )\,x)=\mathrm {Tr} (\rho \,\Phi (x)),\quad \rho \in {\mathfrak {T}}({\mathcal {H}}_{B}),\,x\in B({\mathcal {H}}_{A}),}$

называется квантовым каналом в представлении Шрёдингера.

Благодаря выполнению условия полной положительности, можно брать тензорные произведения любого набора квантовых каналов ${\displaystyle \Phi _{1},\dots ,\Phi _{n}}$. При этом отображение ${\displaystyle \Psi =\bigotimes \limits _{j=1}^{n}\Phi _{j}}$ также будет квантовым каналом.

Для квантового канала ${\displaystyle \Phi _{*}}$ из системы ${\displaystyle B}$ в систему ${\displaystyle A}$ (в представлении Шрёдингера) справедливо представление Стайнспринга

${\displaystyle \Phi _{*}(\rho )=\mathrm {Tr} _{{\mathcal {H}}_{E}}V\rho V^{*},\quad \rho \in {\mathfrak {T}}({\mathcal {H}}_{B}),}$ (1)

где ${\displaystyle V}$ – изометрическое вложение входного гильбертова пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{B}}$ в тензорное произведение ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{E}}$ выходного гильбертова пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$ и некоторого гильбертова пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{E},}$ называемого пространством окружения канала (Холево. 2010; Wilde. 2017^[2]).

В терминах двойственного канала представление Стайнспринга имеет вид

${\displaystyle \Phi (B)=V^{*}(x\otimes I_{E})V,\quad x\in {\mathfrak {B}}({\mathcal {H}}_{A}),}$ (2)

где ${\displaystyle I_{E}}$ – тождественный оператор в пространстве ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{E}}$.

С помощью представлений Стайнспринга ${\displaystyle (1)}$ и ${\displaystyle (2)}$ квантового канала нетрудно получить представления Крауса

${\displaystyle \Phi _{*}(\rho )=\sum _{j\in J}V_{j}\rho V_{j}^{*},\quad \Phi (x)=\sum _{j\in J}V_{j}^{*}xV_{j},\quad \rho \in {\mathfrak {T}}({\mathcal {H}}_{B}),\;x\in {\mathfrak {B}}({\mathcal {H}}_{B}),}$ (3)

где ${\displaystyle \{V_{j}\}_{j\in J}}$ – множество линейных операторов из ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{B}}$ в ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$ такое, что ${\displaystyle \sum _{j\in J}V_{j}^{*}V_{j}=I_{B},}$ а мощность множества индексов ${\displaystyle J}$ совпадает с размерностью пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{E}}$ (Холево. 1972; Холево. 2010; Wilde. 2017). Обратно, имея представления Крауса ${\displaystyle (3)}$ квантового канала, легко получить представления Стайнспринга ${\displaystyle (1)}$ и ${\displaystyle (2)}$ этого канала.

Представление Стайнспринга ${\displaystyle (1)}$ не единственно, представление ${\displaystyle (1)}$ называется минимальным, если линейная оболочка множества векторов

${\displaystyle \{(x\otimes I_{E})V\varphi \,|\,\varphi \in {\mathcal {H}}_{B},\ x\in {\mathfrak {B}}({\mathcal {H}}_{A})\}}$

плотна в ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{E}}$. Размерность пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{E}}$ в минимальном представлении Стайнспринга называется рангом Чоя канала ${\displaystyle \Phi ,}$ она совпадает с минимально возможным числом операторов в представлении Крауса ${\displaystyle (3)}$.

В теории квантовых коммуникаций квантовый канал играет роль канала передачи информации (квантовой или классической) между передающей и приёмной системами. Соответственно, квантовый канал характеризуется рядом пропускных способностей, описывающих предельную скорость передачи информации в различных протоколах связи (Холево. 1972; Холево. 2010; Нильсен. 2006^[3]).

Нахождение явных выражений для пропускных способностей квантового канала через энтропийные характеристики этого канала является одной из важнейших задач квантовой теории информации.