Вполне положительное отображение

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ – две C*-алгебры с положительными конусами ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{+}}$, а ${\displaystyle \Phi :{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ – линейное положительное отображение, т. е. переводящее ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$ в элементы из ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{+}}$. Тогда ${\displaystyle \Phi }$ называется вполне положительным отображением, если отображение ${\displaystyle \Phi \otimes \;Id_{n}:M_{n}({\mathcal {A}})\to \;M_{n}({\mathcal {B}})}$, определённое по формуле

${\displaystyle (\Phi \otimes \;Id_{n})\left({\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\dots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}\Phi (a_{11})&\dots &\Phi (a_{1n})\\\dots \\\Phi (a_{n1})&\dots &\Phi (a_{nn})\end{bmatrix}}}$,

${\displaystyle a_{jk}\in {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle 1\leq \;j,k\leq n}$, остаётся положительным линейным отображением между пространствами квадратных матриц ${\displaystyle M_{n}({\mathcal {A}})}$ и ${\displaystyle M_{n}({\mathcal {B}})}$ для любого ${\displaystyle n=2,3,4,\dots }$.

Пусть C*-алгебры ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ реализованы как алгебры операторов в гильбертовых пространствах ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{B}}$ соответственно. Для любого вполне положительного отображения ${\displaystyle \Phi }$ найдутся такие ограниченные операторы ${\displaystyle V_{j}:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{B}}$, что

${\displaystyle \Phi (x)=\sum \limits _{j}V_{j}xV_{j}^{*},\quad x\in {\mathcal {A}}}$.

В работе (Stinespring. 1955) было также показано что если хотя бы одна из C*-алгебр ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ коммутативна, тогда понятия вполне положительного отображения и положительного отображения совпадают.