Квадратичный закон взаимности

Квадрати́чный зако́н взаи́мности, соотношение

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}},}$

связывающее символы Лежандра ${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)}$ и ${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)}$ для различных нечётных простых чисел ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$. Имеются два дополнения к указанному квадратичному закону взаимности, а именно:

${\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{(p-1)/2}}$

и

${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left(p^{2}-1\right)/8}}$.

K. Гаусс (C. Gauss) дал первое полное доказательство квадратичного закона взаимности, в связи с чем квадратичный закон взаимности называется также законом взаимности Гаусса.

Из квадратичного закона взаимности непосредственно следует, что при заданном целом ${\displaystyle d}$, не делящемся на квадрат целого числа, простые ${\displaystyle p}$, для которых ${\displaystyle d}$ является квадратичным вычетом по модулю ${\displaystyle p}$, лежат в нескольких арифметических прогрессиях с разностью ${\displaystyle 2|d|}$ или ${\displaystyle 4|d|}$. Число этих прогрессий равно ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\varphi (2|d|)}$ или ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\varphi (4|d|)}$, где ${\displaystyle \varphi (n)}$ – функция Эйлера. Квадратичный закон взаимности даёт возможность установить законы разложения в квадратичном расширении ${\displaystyle R({\sqrt {d}})}$ поля рациональных чисел, поскольку в ${\displaystyle R({\sqrt {d}})}$ разложение простого числа ${\displaystyle p}$, не делящего ${\displaystyle d}$, на простые дивизоры зависит от того, приводим или нет многочлен ${\displaystyle x^{2}-d}$ по модулю ${\displaystyle p}$.