Интегрирующий множитель

Интегри́рующий мно́житель (для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка)

${\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,}$ (1)

функция ${\displaystyle \mu =\mu (x,y)\neq 0}$, обладающая тем свойством, что уравнение

${\displaystyle \mu (x,y)P(x,y)dx+\mu (x,y)Q(x,y)dy=0}$

является дифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Например, для линейного уравнения ${\displaystyle y^{\prime }+a(x)y=f(x)}$, или ${\displaystyle (a(x)y-f(x))dx+dy=0}$ интегрирующим множителем служит функция ${\displaystyle \mu =\exp \int a(x)dx}$ . Если уравнение (1) в области ${\displaystyle D}$, где ${\displaystyle P^{2}+Q^{2}\neq 0}$, имеет гладкий общий интеграл ${\displaystyle U(x,y)=C}$, то оно имеет бесконечно много интегрирующих множителей. Если функции ${\displaystyle P(x,y)}$, ${\displaystyle Q(x,y)}$ имеют непрерывные частные производные в односвязной области ${\displaystyle D}$, где ${\displaystyle P^{2}+Q^{2}\neq 0}$, то в качестве интегрирующего множителя можно взять любое нетривиальное частное решение уравнения с частными производными

${\displaystyle Q{\frac {\partial \mu }{\partial x}}-P{\frac {\partial \mu }{\partial y}}+\mu \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)=0}$ (2)

(Степанов. 2016^[1]). Однако общего метода отыскания решений уравнения (2) не существует, и поэтому фактическое нахождение интегрирующего множителя для конкретного уравнения (1) удаётся лишь в исключительных случаях (Камке. 1976^[2]).