Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

Дифференциа́льное уравне́ние в по́лных дифференциа́лах, обыкновенное дифференциальное уравнение

${\displaystyle F\left(x,y,y^{\prime },\ldots ,y^{(n)}\right)=0,}$ (1)

левая часть которого может быть записана в виде полной производной:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\Phi \left(x,y,y^{\prime },\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0}$.

Другими словами, уравнение (1) является дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если существует такая дифференцируемая функция ${\displaystyle \Phi \left(x,u_{0},u_{1},\ldots ,u_{n-1}\right)}$, что

${\displaystyle F\left(x,u_{0},u_{1},\ldots ,u_{n}\right)\equiv \Phi _{x}^{\prime }+u_{1}\Phi _{u_{0}}^{\prime }+u_{2}\Phi _{u_{1}}^{\prime }+\ldots +u_{n}\Phi _{u_{n-1}}}$

тождественно по всем аргументам. Решение уравнения ${\displaystyle n}$-го порядка в полных дифференциалах сводится к решению уравнения ${\displaystyle (n-1)}$-го порядка

${\displaystyle \Phi \left(x,y,y^{\prime },\ldots .y^{(n-1)}\right)=C,\quad C=\operatorname {const} }$.

Пусть ${\displaystyle F\left(x,u_{0},u_{1},\ldots ,u_{n}\right)}$ есть ${\displaystyle n}$ раз непрерывно дифференцируемая функция, а ${\displaystyle \Phi \left(x,u_{0},u_{1},\ldots ,u_{n-1}\right)}$ – функция, имеющая непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно. Пусть

${\displaystyle \Delta \Phi =\Phi _{x}^{\prime }+u_{1}\Phi _{u_{0}}^{\prime }+u_{2}\Phi _{u_{1}}^{\prime }+\ldots +u_{n}\Phi _{u_{n-1}^{\prime }}^{\prime },}$
${\displaystyle Delta_{0}F=F_{u_{n}}^{\prime }\quad \Delta _{\nu }F=F_{u_{n-\nu }}^{\prime }-\Delta \left(\Delta _{\nu -1}F\right),\quad \nu =1,\ldots ,n.}$

Для того чтобы уравнение (1) было дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, достаточно, чтобы функции ${\displaystyle \Delta _{\nu }F}$, ${\displaystyle \nu =0,1,\ldots ,n}$, не зависели от ${\displaystyle u_{n}}$ и ${\displaystyle \Delta _{n}F=0}$ (см. Э. Камке, 1976). В частности, ${\displaystyle u_{n}}$ может входить в ${\displaystyle F}$ только линейно.

Уравнение 1-го порядка

${\displaystyle M(x,y)+N(x,y)y^{\prime }=0,}$ (2)

где функции ${\displaystyle M,N,M_{y}^{\prime },N_{x}^{\prime }}$ определены и непрерывны в открытой односвязной области ${\displaystyle D}$ плоскости ${\displaystyle (x,y)}$ и ${\displaystyle M^{2}+N^{2}>0}$ в ${\displaystyle D}$, будет дифференциальным уравнением в полных дифференциалах в том и только в том случае, когда

${\displaystyle M_{y}^{\prime }(x,y)=N_{x}^{\prime }(x,y){\text{ в }}D}$.

Общее решение уравнения (2) в полных дифференциалах имеет вид ${\displaystyle \Phi (x,y)=0}$, где

${\displaystyle \Phi (x,y)=\int _{\left(x_{0},y_{0}\right)}^{(x,y)}M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy}$

и интеграл берется по любой спрямляемой кривой, лежащей в области ${\displaystyle D}$ и соединяющей произвольную фиксированную точку ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)\in D}$ с точкой ${\displaystyle (x,y)}$ (см. Н. П. Еругин, 1972). Уравнение (2) [в общем случае уравнение (1), линейное по ${\displaystyle y^{(n)}}$] может быть приведено (при некоторых предположениях) к дифференциальному уравнению в полных дифференциалах умножением на интегрирующий множитель.