Интегрируемая система

Интегри́руемая систе́ма, дифференциальная система размерности ${\displaystyle p}$ на ${\displaystyle n}$-мерном дифференцируемом многообразии ${\displaystyle M^{n}}$, которая в окрестности каждой точки ${\displaystyle x\in M^{n}}$ обладает ${\displaystyle (n-p)}$-параметрическим семейством ${\displaystyle p}$-мерных интегральных многообразий. Часто в этом случае говорят о вполне интегрируемой дифференциальной системе; более точно она определяется следующим образом. Пусть в каждой точке ${\displaystyle x\in M^{n}}$ выделено некоторое подпространство ${\displaystyle D(x)}$ размерности ${\displaystyle p}$ касательного векторного пространства ${\displaystyle T_{x}\left(M^{n}\right)}$, так что на ${\displaystyle M^{n}}$ задана дифференциальная система, или распределение ${\displaystyle D}$ класса ${\displaystyle C^{2}}$, ${\displaystyle r\geqslant 1}$, размерности ${\displaystyle p}$. Система ${\displaystyle D}$ называется вполне интегрируемой, если для любой точки ${\displaystyle a\in M^{n}}$ найдётся система координат ${\displaystyle (U,\varphi )}$, ${\displaystyle x\in U}$, ${\displaystyle \varphi (x)=x^{1},\ldots ,x^{n}}$, такая что для любых постоянных ${\displaystyle c^{j}}$, ${\displaystyle p<j\leqslant n}$, многообразие ${\displaystyle U_{c}=\left\{x\in U;x^{j}=c^{j}\right\}}$ является интегральным подмногообразием, т. е. его касательное пространство в произвольной его точке ${\displaystyle x}$ совпадает с ${\displaystyle D(x)}$. Аналитические условия, необходимые и достаточные для этого, см. в статье Инволютивное распределение.