Интегральное многообразие

Интегра́льное многообра́зие системы дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=X(t,x),}$ (*)

множество ${\displaystyle S}$ точек расширенного фазового пространства [пространства переменных ${\displaystyle (t,x)}$], которое заполнено интегральными кривыми этой системы (т. е. графиками её решений), определёнными для всех ${\displaystyle t\in {\bf {R}}}$, и для которого координаты ${\displaystyle x}$ его точек ${\displaystyle (t,x)}$ при любом фиксированном ${\displaystyle t}$ образуют многообразие ${\displaystyle S_{t}}$ в фазовом пространстве этой системы (пространстве переменной ${\displaystyle x}$). Иногда говорят, что многообразие ${\displaystyle S_{t}}$ в расширенном фазовом пространстве, точки которого при изменении ${\displaystyle t}$ изменяют своё положение согласно ${\displaystyle (*)}$, как бы шевелится, это наглядный образ интегрального многообразия. Дополнительно часто подразумевают какое-либо условие о характере зависимости ${\displaystyle S_{t}}$ от ${\displaystyle t}$. Например, если ${\displaystyle X(t,x)}$ зависит от ${\displaystyle t}$ периодически, интересуются теми ${\displaystyle S}$, для которых ${\displaystyle S_{t}}$ также зависит от ${\displaystyle t}$ периодически. При определении интегрального многообразия иногда требуют аналитической представимости множества ${\displaystyle S_{t}}$ уравнением ${\displaystyle x=f(t,C)}$, где функция ${\displaystyle f}$, заданная для всех ${\displaystyle t\in {\bf {R}}}$ и для ${\displaystyle C=(C_{1},\ldots ,C_{m})}$ из некоторой области ${\displaystyle D}$, обладает определённой гладкостью по ${\displaystyle (t,C)}$ при ${\displaystyle (t,C)\in {\bf {R}}\times D}$. В этом случае интегральное многообразие называют ${\displaystyle m}$-мерным той же гладкости, какова гладкость функции ${\displaystyle f}$.

Примеры: интегральная кривая периодического решения системы ${\displaystyle (*)}$, т. е. периодическая интегральная кривая; семейство интегральных кривых системы ${\displaystyle (*)}$, образованное семейством квазипериодических решений системы ${\displaystyle (*)}$, заполняющих ${\displaystyle m}$-мерный тор в пространстве переменной ${\displaystyle x}$ при ${\displaystyle t=0}$, т. е. ${\displaystyle m}$-мерное тороидальное интегральное многообразие.

Наиболее изученные интегральные многообразия – тороидальные многообразия, для которых ${\displaystyle S_{t}}$ являются торами при любом фиксированном ${\displaystyle t\in {\bf {R}}}$. Эти многообразия часто встречаются в системах вида ${\displaystyle (*)}$, описывающих колебательные процессы.

Родственным интегральному многообразию является понятие инвариантного многообразия автономной системы [системы с не зависящей от ${\displaystyle t}$ правой частью ${\displaystyle (*)}$]. В этом случае интерес представляют интегральные многообразия ${\displaystyle S}$, для которых ${\displaystyle S_{t}}$ не зависит от ${\displaystyle t}$; они называются инвариантными многообразиями.