Индекс пересечения

И́ндекс пересече́ния, гомологический инвариант, характеризующий алгебраическое (т. е. учитывающее ориентацию) число точек пересечения двух подмножеств дополнительных размерностей в евклидовом пространстве или ориентированном многообразии (находящихся в общем положении). В случае неориентируемого многообразия в качестве кольца коэффициентов ${\displaystyle R}$ для гомологий рассматривается ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$.

Пусть ${\displaystyle X\supset A}$, ${\displaystyle Y\supset B}$ – такие пары подмножеств евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, что ${\displaystyle A\cap Y=\emptyset =X\cap B}$, и пусть ${\displaystyle d:(X\times Y,\,(A\times Y)\cup (X\times B))\to (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}\setminus 0)}$ – отображение, для которого ${\displaystyle d(x,y)=x-y}$. Индексом пересечения ${\displaystyle \xi \circ \eta }$ классов гомологий ${\displaystyle \xi \in H_{n-i}(X,A)}$, ${\displaystyle \eta \in H_{n}(Y,B)}$ называется элемент ${\displaystyle (-1)^{i}d_{*}(\xi \times \eta )}$. Здесь ${\displaystyle d_{*}}$ – индуцированное отображение гомологий, а ${\displaystyle \xi \times \eta \in H_{n}(X\times Y,\,(A\times Y)\cup (X\cup B))}$ – внешнее гомологическое произведение элементов ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$.

Индекс пересечения ${\displaystyle \xi \circ \eta }$ зависит лишь от тех частей классов ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$, носители которых попадают в произвольно малую окрестность ${\displaystyle V}$ замыкания множества ${\displaystyle X\cap Y}$. В частности, ${\displaystyle \xi \circ \eta =0}$, если ${\displaystyle X\cap Y=\emptyset }$. Кроме того, если ${\displaystyle V=\cup _{i}V_{i}}$, ${\displaystyle V_{i}\cap V_{j}=\emptyset }$ при ${\displaystyle i\neq j}$, то определены соответствующие каждому открытому множеству ${\displaystyle V_{i}}$ локальные индексы пересечения ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$, сумма которых совпадает с ${\displaystyle \xi \circ \eta }$. Инвариант ${\displaystyle \xi \circ \eta }$ не меняется при гомеоморфизмах ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Вместе с предшествующим свойством локальности это позволяет определить индекс пересечения ${\displaystyle \xi \circ \eta }$ для компактных подмножеств ориентированного многообразия. Имеет место следующее соотношение антикоммутативности:

${\displaystyle \xi \circ \eta =(-1)^{i(n-i)}\eta \circ \xi }$.

Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ – векторные подпространства общего положения, ${\displaystyle A=X\setminus 0}$, ${\displaystyle B=Y\setminus 0}$, а ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ – образующие ${\displaystyle R=H_{n-i}(X,A)=H_{i}(Y,B)}$, то ${\displaystyle \xi \circ \eta }$ – образующая ${\displaystyle H_{n}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}\setminus 0)=R}$. Так как выбор указанных образующих равносилен выбору ориентации в соответствующих евклидовых пространствах, это даёт возможность определить индекс пересечения ${\displaystyle c\circ c'}$ двух цепей дополнительных размерностей (в том числе сингулярных), для которых ${\displaystyle \mid c\mid \cap \mid \partial c'\mid =\emptyset =\mid c'\mid \cap \mid \partial c\mid }$ (${\displaystyle \mid c\mid }$ – носитель, а ${\displaystyle \partial c}$ – граница цепи ${\displaystyle c}$. При этом ${\displaystyle c\circ c'=\xi \circ \eta }$ для определяемых цепями ${\displaystyle c,c'}$ классов гомологий ${\displaystyle \xi \in H_{n-i}(X,A)}$, ${\displaystyle \eta \in H_{i}(Y,B)}$, ${\displaystyle \mid c\mid \subset X}$, ${\displaystyle \mid \partial c\mid \subset A}$, ${\displaystyle \mid c'\mid \subset Y}$, ${\displaystyle \mid \partial c'\mid \subset B}$.

Индекс пересечения применяется для описания некоторых соотношений двойственности в многообразиях.