Дистальная динамическая система

Диста́льная динами́ческая систе́ма, такая динамическая система ${\displaystyle \left\{T^{t}\right\}}$ с метрическим фазовым пространством ${\displaystyle X}$, что для любых точек ${\displaystyle x\neq y}$ нижняя грань расстояний

${\displaystyle \inf _{t}\rho \left(T^{t}x,T^{t}y\right)>0}$.

Если в некоторой динамической системе какая-либо пара точек ${\displaystyle x\neq y}$ обладает последним свойством, то говорят, что эта пара точек дистальна; таким образом, дистальная динамическая система – это динамическая система, для которой все пары точек ${\displaystyle x\neq y}$ дистальны.

Приведённое определение годится для «общих» динамических систем, когда «время» ${\displaystyle t}$ пробегает произвольную группу ${\displaystyle G}$. Содержательные результаты получаются, если ${\displaystyle G}$ локально компактна (основными являются «классические» случаи каскада или потока, т. е. когда ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ или ${\displaystyle G=\mathbb {R} }$, но рассуждения при этом почти не упрощаются), а ${\displaystyle X}$ компактно. Особый интерес при этом представляет тот случай, когда ${\displaystyle X}$ является минимальным множеством (общий случай в известном смысле сводится к этому, а именно, при указанных ограничениях на ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle X}$ замыкание каждой траектории оказывается минимальным множеством). Важнейший пример дистальной динамической системы – система, возникающая в замыкании почти периодической траектории какой-нибудь динамической системы. Другой пример – нильпотоки (см. Ауслендер. 1966^[1]). Как и в этих примерах, строение дистальной динамической системы с минимальным ${\displaystyle X}$ при указанных условиях допускает довольно детальное описание алгебраического характера (см. Furstenberg. 1963^[2]; изложение теории дистальных динамических систем и их обобщений и библиографию см. в Бронштейн. 1975^[3]).