Двойственность Стинрода

Дво́йственность Сти́нрода, изоморфизм ${\displaystyle p}$-мерных гомологий компактного подмножества ${\displaystyle A}$ сферы ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle (n-p-1)}$-мерным когомологиям его дополнения (гомологии и когомологии в размерности нуль – приведённые). Рассмотрена Н. Стинродом (Steenrod.1940^[1]). В случае когда ${\displaystyle A}$ – открытый или замкнутый подполиэдр, аналогичный изоморфизм известен как двойственность Александера, а для любого открытого подмножества ${\displaystyle A}$ – как двойственность Понтрягина. Изоморфизм

${\displaystyle H_{p}^{c}(A;G)=H^{n-p-1}(S^{n}\setminus A;G)}$

имеет место и для произвольного подмножества ${\displaystyle A}$ (двойственность Ситникова); здесь ${\displaystyle H_{p}^{c}}$ – гомологии с компактными носителями Стинрода – Ситникова, a ${\displaystyle H^{q}}$ – когомологии Александрова – Чеха. Двойственность Александера – Понтрягина – Стинрода – Ситникова – простое следствие двойственности Пуанкаре – Лефшеца и точной последовательности пары. Она справедлива не только для ${\displaystyle S^{n}}$, но и для любого многообразия, ацикличного в размерностях ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle p+1}$.