Движение в геометрии

Движе́ние в геометрии, преобразование евклидова пространства, сохраняющее расстояние между любыми двумя точками. Движение называется собственным (движение 1-го рода) или несобственным (движение 2-го рода) в зависимости от того, сохраняет или не сохраняет движение ориентацию пространства. Собственное движение на плоскости может быть задано в прямоугольной системе координат ${\displaystyle Oxy}$ формулами

${\displaystyle x'=x\cos \varphi -y\sin \varphi +a,}$

${\displaystyle y'=x\sin \varphi +y\cos \varphi +b}$.

Параметры ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ характеризуют параллельный перенос плоскости на вектор ${\displaystyle (a,b)}$ с компонентами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, а параметр ${\displaystyle \varphi }$ – вращение плоскости вокруг начала координат. Собственное движение может быть представлено как произведение (суперпозиция) вращения вокруг начала координат на угол ${\displaystyle \varphi }$ и параллельного переноса на вектор ${\displaystyle (a,b)}$.

Несобственное движение на плоскости может быть задано в прямоугольных координатах ${\displaystyle Oxy}$ формулами

${\displaystyle x'=x\cos \varphi -y\sin \varphi +a,}$

${\displaystyle y'=x\sin \varphi +y\cos \varphi +b}$.

Несобственное движение есть произведение собственного движения на преобразование симметрии относительно некоторой прямой.

В пространстве (как и на плоскости) движение аналитически задаётся линейным преобразованием с ортогональной матрицей, определитель которой равен 1 или –1 в зависимости от того, является движение собственным или несобственным. Собственное движение есть или вращение вокруг оси, или параллельный перенос или может быть представлено в виде произведения вращения вокруг оси и параллельного переноса в направлении этой оси (винтовое движение). Несобственное движение в пространстве есть либо симметрия относительно плоскости, либо может быть представлено в виде произведения симметрии относительно плоскости на вращение вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости, либо в виде произведения симметрии относительно плоскости на перенос в направлении вектора, параллельного этой плоскости.

Движение может быть принято в качестве основного понятия при аксиоматическом построении геометрии. В этом случае вместо аксиом конгруэнтности вводятся аксиомы движения (фигуры называются конгруэнтными, если одна переходит в другую при помощи некоторого движения).