Ортогональная матрица

Ортогона́льная ма́трица, матрица над коммутативным кольцом ${\displaystyle R}$ с единицей ${\displaystyle 1}$, для которой транспонированная матрица совпадает с обратной. Определитель ортогональной матрицы равен ${\displaystyle \pm 1}$. Совокупность всех ортогональных матриц порядка ${\displaystyle n}$ над ${\displaystyle R}$ образует подгруппу полной линейной группы ${\displaystyle {\rm {GL}}_{n}\,(R)}$. Для любой действительной ортогональной матрицы ${\displaystyle a}$ существует такая действительная ортогональная матрица ${\displaystyle c}$, что

${\displaystyle cac^{-1}={\rm {diag}}\,[\pm 1,\dots ,\pm 1,a_{1},\dots ,a_{t}]}$,

где

${\displaystyle a_{j}={\begin{Vmatrix}\cos {\varphi _{j}}&\sin {\varphi _{j}}\\-\sin {\varphi _{j}}&\cos {\varphi _{j}}\end{Vmatrix}}}$.

Невырожденная комплексная матрица ${\displaystyle a}$ тогда и только тогда подобна комплексной ортогональной матрице, когда система её элементарных делителей обладает следующими свойствами: 1) для ${\displaystyle \lambda \neq \pm 1}$ элементарные делители ${\displaystyle (x-\lambda )^{m}}$ и ${\displaystyle (x-\lambda ^{-1})^{m}}$ повторяются одно и то же число раз; 2) каждый элементарный делитель вида ${\displaystyle (x\pm 1)^{2l}}$ повторяется чётное число раз.