Гомологическая классификация колец
Гомологи́ческая классифика́ция коле́ц, общее название для результатов, описывающих свойства кольца (обычно, ассоциативного и с единицей) по свойствам тех или иных модулей над ним и, в частности, по свойствам категории всех левых (или правых) модулей над этим кольцом (см. Эквивалентность Мориты).
Важнейшие примеры таких результатов следующие:
1) классическая полупростота кольца равносильна как инъективности всех левых модулей над ним, так и их проективности, а также инъективности всех левых идеалов кольца (см. Картан. 1960[1]);
2) коммутативное локальное нётерово кольцо регулярно тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную гомологическую размерность;
3) регулярность (в смысле Неймана) кольца имеет место в том и только в том случае, когда все модули над ним плоские, т. е. когда кольцо имеет нулевую слабую гомологическую размерность (см. Ламбек. 2005[2]);
4) проективность всякого плоского левого модуля равносильна условию минимальности для главных правых идеалов (см. Совершенное кольцо);
5) кольцо нётерово слева тогда и только тогда, когда класс инъективных левых модулей над ним описывается формулами узкого исчисления предикатов на языке теории модулей (см. Еklof. 1971).
См. также Артиново кольцо, Квазифробениусово кольцо, Когерентное кольцо, Полусовершенное кольцо, Самоинъективное кольцо.
Примечания
Литература
- Картан А. П. Гомологическая алгебра / А. Картан, С. Эйленберг ; пер. с англ. Е. Г. Шульгейфера. – Москва : Издательство иностранной литературы, 1960.
- Маклейн С. Гомология / пер. с англ. М. С. Цаленко. – Москва : Мир, 1966.
- Скорняков Л. А. Гомологическая классификация колец // Математички весник. – 1967. – Вып. 4 (19). – С. 415–434.
- Eklof P. Model-completions and modules / P. Eklof, G. Sabbagh // Annals of mathematical logic. – 1971. – Vol. 2, № 3. – P. 251–295.
- Ламбек И. Кольца и модули / пер. с англ. А. В. Михалёва. – Москва : Факториал Пресс, 2005. – (ХХ век. Математика и механика ; вып. 8).