Многообразие Штейна

Многообра́зие Ште́йна, голоморфно полное многообразие, паракомпактное комплексное аналитическое многообразие ${\displaystyle M}$, обладающее следующими свойствами:

1) для любого компакта ${\displaystyle K\subset M}$ множество

${\displaystyle \left\{x\in X\mid |f(x)|\leqslant \sup _{z\in K}|f(z)|\;(f\in {\mathcal {O}}(M))\right\},}$

где ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$ – алгебра голоморфных функций на ${\displaystyle M}$, компактно (голоморфная выпуклость);

2) для любых двух различных точек ${\displaystyle x,y\in M}$ существует такая функция ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(M)}$, что ${\displaystyle f(x)\neq f(y)}$ (голоморфная отделимость);

3) в окрестности любой точки существует голоморфная карта, координатные функции которой принадлежат ${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$.

Условие голоморфной выпуклости можно заменить следующим: для любой последовательности точек ${\displaystyle \left\{x_{n}\mid n=1,2,\ldots \right\}\subset M}$, не имеющей предельных точек, существует такая функция ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(M)}$, что ${\displaystyle \sup _{n}\left|f\left(x_{n}\right)\right|=\infty }$.

Класс многообразий Штейна был введён в рассмотрение К. Штейном (Stein. 1951^[1]), как естественное обобщение голоморфных областей в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Всякое замкнутое аналитическое подмногообразие в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ является многообразием Штейна; обратно, любое ${\displaystyle n}$-мерное многообразие Штейна допускает собственное голоморфное вложение в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n}}$. Всякая некомпактная риманова поверхность является многообразием Штейна. Непосредственным обобщением многообразия Штейна являются пространства Штейна.