Геодезическое отображение

Геодези́ческое отображе́ние, проективное отображение, отображение ${\displaystyle f}$, переводящее геодезические линии пространства ${\displaystyle U}$ в геодезические линии пространства ${\displaystyle V}$. Геодезическое отображение ${\displaystyle {{\ce {f: U -> V}}}}$, где ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ – пространства, в которых определены геодезические, локально гомеоморфно (диффеоморфно, если ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle V}$ – гладкие многообразия).

Пространство, локально допускающее геодезическое отображение на евклидово пространство, называется проективно плоским. Геодезическое отображение одного риманова пространства на другое существует в исключительных случаях. Из римановых пространств проективно плоски только пространства постоянной кривизны (Схоутен. 1948^[1]). Описание всех неримановых проективно плоских метрических пространств составляет четвёртую проблему Гильберта (Погорелов. 1974^[2]).

В теории пространств аффинной связности вместо геодезического отображения говорят о геодезическом преобразовании связности, имея в виду переход к другой связности на том же многообразии с сохранением геодезических. Переход от связности ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$ к связности ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}_{jk}^{i}}$ есть геодезическое отображение при условии ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}_{jk}^{i}=\Gamma _{jk}^{i}+\delta _{k}^{i}\psi _{j}+\delta _{j}^{i}\psi _{k}}$, где ${\displaystyle \psi _{i}}$ – поле ковектора. Чтобы пространство с аффинной связностью было проективно плоским, необходимо и достаточно обращение в нуль тензора Вейля.