Вариация функционала

Вариа́ция функциона́ла (первая вариация), обобщение понятия дифференциала функции одного переменного, главная линейная часть приращения функционала вдоль определённого направления; используется в теории экстремальных задач для получения необходимых и достаточных условий экстремума. Именно такой смысл вкладывается в термин «вариация функционала», начиная с работы Ж.-Л. Лагранжа (Lagrange. 1867). Лагранж рассматривал по преимуществу функционалы классического вариационного исчисления вида

${\displaystyle J(x)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(t,x(t),{\dot {x}}(t))td}$ (1).

Если заданную функцию ${\displaystyle x_{0}(t)}$ заменить на ${\displaystyle x_{0}(t)+\alpha h(t)}$ и подставить в выражение для ${\displaystyle J(x)}$, то при допущении о непрерывной дифференцируемости интегранта ${\displaystyle L}$ имеет место следующее равенство:

${\displaystyle J\left(x_{0}+\alpha h\right)=J\left(x_{0}\right)+\alpha J_{1}\left(x_{0}\right)(h)+r(\alpha ),}$ (2)

где ${\displaystyle |r(\alpha )|\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle \alpha \rightarrow 0}$. Функцию ${\displaystyle h(t)}$ часто называют вариацией функции ${\displaystyle x_{0}(t)}$ и иногда обозначают через ${\displaystyle \delta x(t)}$. Выражение ${\displaystyle J_{1}\left(x_{0}\right)(h)}$, представляющее собой функционал относительно вариаций ${\displaystyle h}$, называется первой вариацией функционала ${\displaystyle J(x)}$ и обозначается через ${\displaystyle \delta J\left(x_{0},h\right)}$. В применении к функционалу (1) выражение для первой вариации имеет вид:

${\displaystyle \delta J\left(x_{0},h\right)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(p(t){\dot {h}}(t)+q(t)h(t))dt,}$ (3)

где

${\displaystyle p(t)=L_{\dot {x}}\left(t,x_{0}(t),{\dot {x}}_{0}(t)\right),\quad q(t)=L_{x}\left(t,x_{0}(t),{\dot {x}}_{0}(t)\right)}$.

Равенство нулю первой вариации для всех ${\displaystyle h}$ является необходимым условием экстремума функционала ${\displaystyle J(x)}$. Для функционала (1) из этого необходимого условия и основной леммы вариационного исчисления (см. в статье Лемма Дюбуа-Реймона) следует уравнение Эйлера:

${\displaystyle -{\frac {d}{dt}}L_{\dot {x}}\left(t,x_{0}(t),{\dot {x}}_{0}(t)\right)+L_{x}\left(t,x_{0}(t),{\dot {x}}_{0}(t)\right)=0}$.

Путём, аналогичным (2), определяются и вариации более высоких порядков (см., например, в статье Вторая вариация функционала).

Общее определение первой вариации в бесконечномерном анализе было дано P. Гато в 1913 г. (см. в статье Вариация Гато). По сути своей определение Гато тождественно с определением Лагранжа. Первая вариация функционала является однородным, но не обязательно линейным функционалом, вариация функционала при дополнительном предположении о линейности и непрерывности (по ${\displaystyle h}$ ) выражения ${\displaystyle \delta J\left(x_{0},h\right)}$ называется обычно производной Гато. Термины «вариация Гато», «производная Гато», «дифференциал Гато» более употребимы, чем «вариация функционала»; термин «вариация функционала» сохранился лишь для функционалов классического вариационного исчисления (Лаврентьев. 1950^[1]).