Лемма Дюбуа-Реймона

Ле́мма Дюбуа́-Реймо́на (лемма Дю-Буа-Реймонда), утверждает, что если ${\displaystyle N(x)}$ – непрерывная функция на отрезке ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$ и если для всех дифференцируемых функций ${\displaystyle \eta (x)}$, обращающихся в нуль при ${\displaystyle x=x_{1}}$ и ${\displaystyle x=x_{2}}$, справедливо соотношение

${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta '(x)N(x)dx=0,}$

то ${\displaystyle N(x)={\rm {const}}}$ на отрезке ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$. Сформулирована П. Дюбуа-Реймоном (Du Bois-Reymond. 1879^[1]).

Лемма Дюбуа-Реймона применяется в вариационном исчислении для вывода уравнения Эйлера в интегральной форме и при этом позволяет не предполагать заранее, что экстремум функционала достигается на дважды дифференцируемой кривой, – достаточно предположения о непрерывной дифференцируемости.