Вариация Гато

Вариа́ция Гато́ отображения ${\displaystyle f(x)}$ линейного пространства ${\displaystyle X}$ в линейное топологическое пространство ${\displaystyle Y}$, предел в топологии пространства ${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle \delta f(x_{0},h)=\left.{\frac {d}{dt}}f(x_{0}+th)\right|_{t=0}=\lim \limits _{t->0}{\frac {f(x_{0}+th)-f(x_{0})}{t}}}$ (*)

в предположении, что он существует для всех ${\displaystyle h\in X}$. Именно так ввёл первую вариацию Р. Гато в 1913–1914 гг. Для функционалов классического вариационного исчисления это определение было дано Ж.-Л. Лагранжем (см. в статье Вариация функционала).

Выражение ${\displaystyle \delta f(x_{0},h)}$ не обязательно является линейным функционалом по ${\displaystyle h}$, хотя оно всегда есть однородная функция по ${\displaystyle h}$ первой степени. Отображение ${\displaystyle h\to \delta f(x_{0},h)}$ называют иногда дифференциалом Гато. Начиная с работ П. Леви (Lévy. 1922^[1], см. также Леви. 1967^[2]), обычно требуют линейность и непрерывность ${\displaystyle \delta f(x_{0},h)}$ по ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle \delta f(x_{0},h)=f_{\Gamma }^{\prime }(x_{0})h,\quad f_{\Gamma }^{\prime }(x_{0})\;\in \;L(X,Y)}$.

В этом случае ${\displaystyle f_{\Gamma }^{\prime }(x_{0})}$ называется производной Гато. Аналогично ${\displaystyle (*)}$ определяются вторая и т. д. вариации. См. также вариацию, вторую вариацию, дифференцирование отображений.