Дифференциал Гато

Дифференциа́л Гато́ отображения ${\displaystyle f(x)}$ линейного топологического пространства ${\displaystyle X}$ в линейное топологическое пространство ${\displaystyle Y}$, функция

${\displaystyle h\rightarrow Df\left(x_{0},h\right)}$,

где предел

${\displaystyle Df\left(x_{0},h\right)=\left.{\frac {d}{dt}}f\left(x_{0}+th\right)\right|_{t=0}=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f\left(x_{0}+th\right)-f\left(x_{0}\right)}{t}}}$

в предположении, что он существует для всех ${\displaystyle h\in X}$, а сходимость понимается в топологии пространства ${\displaystyle Y}$. Так определённый дифференциал Гато однороден, но неаддитивен. Аналогично вводятся дифференциалы Гато высших порядков. Отображение ${\displaystyle h\rightarrow Df\left(x_{0},h\right)}$ называется иногда вариацией Гато, или слабым дифференциалом (см. также статьи Дифференцирование отображений, Вариация отображения).

Обычно накладывают дополнительное требование линейности и непрерывности. Дифференциал Гато: ${\displaystyle Df(x,h)=f_{\Gamma }^{\prime }\left(x_{0}\right)h}$, ${\displaystyle f_{\Gamma }^{\prime }\left(x_{0}\right)\in L(X,Y)}$. В этом случае ${\displaystyle f^{\prime }\Gamma \left(x_{0}\right)}$ называется производной Гато. Если отображение ${\displaystyle (x,h)\rightarrow Df(x,h)}$ равномерно непрерывно по ${\displaystyle x}$ и непрерывно по ${\displaystyle h}$ в некоторой области, то в этой области существует производная Фреше ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ и при этом ${\displaystyle f^{\prime }(x)h=Df(x,h)}$.